「幾何学基礎論」について
正式名：「幾何学基礎論」 著者：ダーヴィッド・ヒルベルト 発表年：１９３０年 プロイセン （複数の論文を集めた定本） 日本語訳 「幾何学基礎論」：ちくま学芸文庫 中村幸四郎 訳 初出：１９６９年清水弘文堂
原典「幾何学基礎論」について
幾何学といえば、ユークリッドの「原論」から始まります。 「原論」も邦訳がありますが非常な大著です。 「原論」は５つの公準からはじまりますが、古くから第５公準 を省く試みがなされてきました。 その結果は、「非ユークリッド幾何学」を生みました。 その結果は新しいものを生み出すとともに、急激な拡大は幾何学 自体のその後の進み方も曖昧にしました。 ヒルベルトの「幾何学基礎論」は公理の考察と、無矛盾性・独立性 を考察してその後の道筋を作ったものです。 現代では、用語・方法論を始め単純に適用する事はないが、それは 当然でしょう。
「幾何学基礎論」の内容
序 第１章 五つの公理群 １：幾何学の構成元素と五つの公理群 ２：公理群１：結合の公理 ３：公理群２：順序の公理 ４：結合公理と順序公理からの結論 ５：公理群３：合同の公理 ６：合同公理からの結論 ７：公理群４：平行の公理 ８：公理群５：連続の公理 第２章 公理の無矛盾性および相互独立性 ９：公理の無矛盾性 １０：平行の公理の独立性（非ユークリッド幾何学） １１：合同の公理の独立性 １２：連続の公理５の独立性（非ユークリッド幾何学） 第３章 比例の理論 １３：複素数系 １４：パスカルの定理の証明 １５：パスカルの定理に基づく線分算 １６：比例と相似定理 １７：直線および平面の方程式 第４章 平面における面積の理論 １８：多角形の分解等積と補充等積 １９：同底、同高の平行四辺形と三角形 ２０：三角形および多角形の面積測度 ２１：補充等積性と面積測度 第５章 デザルグの定理 ２２：デザルグの定理とその合同公理による平面における証明 ２３：平面において合同公理なしにデザルグの定理は証明不可能 ２４：合同公理によらざるデザルグの定理に基づく線分算の導入 ２５：新線分算における加法の交換律と結合律 ２６：新線分算における乗法の結合律と二つの分配律 ２７：新線分算に基づく直線の方程式 ２８：複素系とみなした線分の全体 ２９：デザルグ数系を用いる立体幾何学の構成 ３０：デザルグの定理の意義 第６章 パスカルの定理 ３１：パスカルの定理の証明可能に関する二つの定理 ３２：アルキメデス数系における乗法の交換律 ３３：非アルキメデス数系における乗法の交換律 ３４：パスカルの定理に関する二つの証明（非パスカル幾何学） ３５：パスカルの定理による任意の交点定理の証明 第７章 公理１−４に基づく幾何学的作図 ３６：定理と定長尺とを用いる幾何学的作図 ３７：定理と定長尺を用いる幾何学的作図の実行可能の鑑定法 結語
感想
幾何学においては、ユークリッド「原論」から始まります。 その第５公準（平行線が１つ以上存在する）の証明の歴史も 長く大きなドラマです。 そこから生まれた非ユークリッド幾何学は、数学という公理と 矛盾のない閉じた世界の存在の証明からなる分野に特有のもの でしょう。 しかし、それは進歩でありながら多きな変化と拡大をもたらし 本来の姿を曖昧にしがちです。 この時に登場したヒルベルトの「幾何学基礎論」が整理とその後の 出発点となったといえます。 ヒルベルトは幾つかのモデルに対して考察していますが、それは 自然な事でしょう。現代でもそのまま適用できる事を期待する事 は意味はないです。 なお、公理・公準をはじめ多くの用語の意味や使い方自体が時代と 使用者で変わっています。本著での訳や使い方が、現在の一般的な 事とはかぎりません。
非ユークリッド幾何学で混迷した状況を整理。
数学の公理を再考察してまとめた著書
歴史に残る古典的自然科学書をよみましょう。