５− ポートフォリオによるオプション価格の決定

先ず１期モデルについて考える。
株と安全証券を組み合わせて、1期目で、コールオプションと同じ価格分布になる証券
（ポートフォリオ）を作ることを考える。１期目では、コールオプションの価格分布は
決まっていることに注意（０期目のコールオプションの価格を決めるのが目的である）。
株をｘ株、安全証券をｙ円買う。1期目では、このポートフォリオの価格分布は次のようになる。
　　　Ｓｕｘ＋ｒｙ 　　　確率 　　　Ｐ 　　　　　株価が上昇した時
　　　Ｓｄｘ＋ｒｙ　　　 確率 　　　1−Ｐ 　　　株価が下落した時
一方、コールオプションの価格分布は次のようになる。
　　　｜Ｓｕ−Ｋ｜_＋ 　　　確率 　　　Ｐ 　　　　　株価が上昇した時
　　　｜Ｓｄ−Ｋ｜_＋ 　　　確率 　　　1−Ｐ 　　　株価が下落した時
但し、｜Ａ｜_＋ は Ａ 　　　Ａ＞＝０の時
　　　　　　　　　　　０ 　　　Ａ＜０の時
｜Ｓｕ−Ｋ｜_＋ を D_u とし、
｜Ｓｄ−Ｋ｜_＋ を D_d とする。
下のｘ、ｙに関する連立方程式を解けば、ポートフォリオとコールオプションの価格を
1期目で同じにできる（株価が上昇しようと下落しようと）。
　　　Ｓｕｘ＋ｒｙ＝ D_u
　　　Ｓｄｘ＋ｒｙ＝ D_d
を解くと、
　　　ｘ＝（D_u− D_d）/（ｕ−ｄ）/Ｓ
　　　ｙ＝（ｕD_d −ｄD_u）/（ｕ−ｄ）/ｒ
ポートフォリオの０期の価格
　　　　　＝ｘＳ＋ｙ＝（D_u− D_d）/（ｕ−ｄ）＋（ｕD_d −ｄD_u）/（ｕ−ｄ）/ｒ
コールオプションの０期の価格は、この価格に一致していなければならない。
何故なら、もし一致していなければ、０期で安い方を買って高い方を売り、
１期目で反対売買をすれば、儲かるからである。（つまり、裁定機会が生じる）
次に２期モデルについて考える。
１期目で株と安全証券を組み合わせて、２期目で、コールオプションと同じ価格分布
になるポートフォリオを作ることを考える。
1期目で、株をｘ株、安全証券をｙ円買う。