佐藤特許事務所 東京都世田谷区


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４− 仮想市場の設定
三つの証券即ち 元証券（株式）、派生証券（ヨーロッパ型コールオプション）、 安全証券を取り引きする仮想市場を考え、以下の条件を取り引きのルールとする。

仮想市場
  • 投資家は、三証券を市場から時価で任意の量借りることができる。
  • 投資家同士で、証券を時価で自由に交換できる。
  • 取り引きは、０期（現在）、1期、２期（取り引き終了）で行われる。
    ２期で、時価で清算する。
  • 株式のアップ率をｕ、ダウン率をｄ、それぞれの確率をＰ、１−Ｐとする。
  • 株式の現在の価格をＳとする。これらは固定する。常識的には、ｄ＜１、ｕ＞１であるが、計算上はｄ＜ｕで可。 （Ｓは前の例では１０００円、ｕ＝２、ｄ＝１/２、Ｐ＝１/２）
    以上から、株式の０期の価格、1期及び２期の価格の確率分布が決まる。
  • コールオプションの行使価格をＫとし、固定する。（Ｋは前の例では８００円）
    以上から、コールオプションの２期の価格の確率分布が決まる。
    安全証券の利率をｒとし、固定する。（常識的には１＜＝ｒであるが計算上は任意。また、ｄ＜ｒ＜ｕとする。）
    以上から、安全証券の０期、1期、２期の価格が決まる。
安全証券は現金に相当するもので、前述のように金の価値の変動を考えると、このように利率付の安全証券を想定する方が便利である。 従って例えば、株を買うとは安全証券を相手に渡して、株を受け取る ことを意味する。

解決すべきこと
コールオプションの場合は、２期目のみ、価格の確率分布が決まっている。
前の例では、
　　　　３２００円　　　　確率１/４
　　　　　２００円　　　　確率１/２
　　　　　　　０円　　　　確率１/４
市場が成立するためには、コールオプションの現在（０期）の価格（株式のＳに相当するもの）が決められなければならない。 ブラック・ショールズは、無裁定という条件のみから、価格を一意に定められることを示した。（１期目の価格の確率分布も自動的に定まる。）
かくて、この仮想市場には必勝法（必ず儲けて帰る）が存在しないことになる。

（注）この仮想市場は、現実の世界では信用取引をイメージすれば良い。 但し、信用取引では、株などの借り料が発生するが、この仮想市場では発生しない。 安全証券（つまり金）の時は自動的に利息（つまりイメージ的には借り料、預け料）が付くが、株やコールオプションの場合は、借り料、預け料は発生しない。 １０００円分の株を借りて、それが５００円分に下がった場合、５００円分を返せばいい。 １５００円分にあがったら、１５００円分返さなければならないのだから、それで（マクロ的には）相殺されると考える。