トップ| ３− オプションのゲーム化 株式については元ゲーム、オプションについては派生ゲームと完全にゲーム化して考える。 下記で、コインによる上下変動（上昇か下落かの二つの状態）を考えるのが２項モデルである。 コインを2回振るのが２期モデルである。例えば、サイコロによる６種類の変動を考えるのではうまくいかない。（２項モデルのみ有功） それに反して、コインは何回振っても同じ議論ができる。Ｎ回振ると、Ｎ期モデルになる。 元ゲーム ＡとＢが次のようなゲームをする。（元ゲームと名づける。） 最初の額を１０００円とし、ＡはＢに払う。コインを振り、表がでたら金額は２倍、裏がでたら、１／２倍となるものとする。 コインを２回振って、ＢはＡに「確定した金額」を払う。（以下Pは確率） |
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Ａから見た期待値は、約１５６２円となり、１０００円より大きいから、Ａに有利なゲームであるが、裁定機会はない。 派生ゲーム ＡとＢが以下のようなゲームをする。（派生ゲームと名づける。） 設定は、元ゲームとほぼ同じであるが、Ａは最初に１０００円をＢに払わず、勝負が決まった時点で、予め約束していた金額（例えば８００円）を払う。 しかも、Ａは自分が損と分かれば、このゲームへの不参加を決めることも出来る。（ゲームはなかったことにする。） すると、以下のようになる。 ４０００円になったとすれば、８００円を払うから、差し引き３２００円の儲けとなる。 １０００円になったとすれば、差し引き２００円の儲けとなる。 ２５０円になったとすれば、不参加だから、０円の儲けとなる。 Ｂに勝つ機会は全くないから、このゲームは裁定機会有りとなる。 まともなゲームにするためには、どうすべきか？ ＡはＢに、「ゲームへの参加、不参加を決める権利の代金」を予め払えばよい。 Ｂは代金を受け取ったのだから、Ａに従わなければならない。 この代金をいくらにすべきか？ ３２００円以上なら、Ａが儲かる可能性は全くないから、これより小さくすれば、まともなゲーム（無裁定のゲーム）となる。 もっときちんとした価格を決められないだろうか？ Ａから見た場合、以下のようになる。 ３２００円儲かる確率 １/４ ２００円儲かる確率 １/２ ０円儲かる確率 １/４ 期待値は、９００円であるから、ＡからＢに払う権利の代金も９００円とすれば公平となる。 ところが、これは、派生ゲームしかない（元ゲームはない）とした場合の公平さである。（派生ゲームだけでも、ゲームは成立する） 驚くべきことに、このような決め方では、元ゲームも考えて派生ゲームとうまく組み合わせると、裁定機会が生じてしまうのだ。 裁定機会が生じない価格は、唯一である。このケースの場合は、金利を考えないと４４５円となる。（金利については後述） これが、ブラック・ショールズの着想である。 |
