８− マルチンゲールとストッピングタイム

マルチンゲールは、「公正なゲームを数学的に表現したもの」と言われる。しかし、この
説明はあまり核心をついていない。
次のような二つのゲームを考える。
ゲーム１
AとBがコイン（普通の）を使ったゲームをする。表がでたらAは100円もらい、裏がで
たら100払う。これを２回行う。
ゲーム２
ゲーム１で、２回目のルールを以下のように変える。
１回目で表がでた時、２回目で表がでたらAは100円もらい、裏がでたら５0円払う。
１回目で裏がでた時、２回目で表がでたらAは５0円もらい、裏がでたら１00円払う。
二つのゲームはどちらも2回目の期待値は０となるから、どちらも公平なゲームである。
（ ゲーム２の期待値＝１/4×200＋１/4×50＋１/4×（−50）＋１/4×（−200）＝0 ）
ところが、ゲーム１はマルチンゲールであるが、ゲーム２はマルチンゲールではない。
何故か？
ゲーム２において、Aに対して、１回目の結果をみて続行か中止かを選ぶ権利を与えたと
する。すると当然Ａは、「１回目で表がでたら続行、裏がでたら中止」という作戦を選ぶ。
何故なら、その場合の期待値は
期待値＝１/2×（−１00）＋１/4×200＋１/4×50）＝12．５円
となって、Ａに有利となるからである。
ゲーム１の場合はどのような作戦をとろうと、常に期待値＝０となる。
因みに、作戦は以下の4つである。
　　　・１回目で表がでたら続行、裏がでたら中止
　　　・１回目で表がでたら中止、裏がでたら続行
　　　・どちらでも中止
　　　・どちらでも続行