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　　　メルセンヌ素数　　　　　　　　　　　２００４年２月１５日、３月２８日　柴田昭彦作成
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　２０１９年８月２７日　一覧表を大幅に改訂
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２０２３年１月２１日　参考文献を追加　

自分自身を除く約数の和が自分自身になる数を完全数という。

　　　　　　　　　　　　　 1 　　　　２　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２　　　　３　　　　　　　　　　　　　　
　　　６＝１＋２＋３＝２　×（２　－１）　　　　２８＝１＋２＋４＋７＋１４＝２　×（２　－１）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｐ－１　　 ｐ　
完全数：　Ｐｅｒｆｅｃｔ　ｎｕｍｂｅｒｓ　　　　Ｐ（ｐ）＝２　　　（２　－１）


フランスの数学者マラン・メルセンヌ（Ｍａｒｉｎ　Ｍｅｒｓｅｎｎｅ、１５８８－１６４８）は次の形の素数を研究した。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｐ　
メルセンヌ素数：　Ｍｅｒｓｅｎｎｅ　ｐｒｉｍｅｓ　　　　Ｍ（ｐ）＝２　－１　　　　　　　　（ｐ：ｐｒｉｍｅ）　


参考書として、次の本を紹介しておこう。Webページ “The　Prime　Pages” をもとに翻訳出版された画期的な事典である。

Ｃｈｒｉｓ　Ｋ．Ｃａｌｄｗｅｌｌ　編著、ＳＯＪＩＮ　編訳『素数大百科』（共立出版、２００４年２月）（５８００円＋税）

（メルセンヌ素数については、この本の第４章 ｐ．５９－８６、 第６章 ｐ．９５－１０１、 第７章７ 　ｐ．１１１－６、　
　用語編の ｐ．１６９－１７１、　第１１章４　ｐ．２６８－２７０参照。）　　（ｐ．３７３のHurwitzの同定にミスがある。）　


中村滋『素数物語－アイディアの饗宴』（岩波書店、２０１９年）の４１～４２頁に「メルセンヌ素数の現状」が掲載してある。
この本は『素数定理発見物語』というべき内容で、興味深いので、一読をおすすめする。（２０２３年１月２１日、追記）


メルセンヌ素数は、２０１８年１２月末までに、５１個発見されている。
メルセンヌ素数について、メルセンヌ素数発見プロジェクトＧＩＭPＳ、といったサイトでデータが得られるだろう。

ウィキペディア（Ｗｉｋｉｐｅｄｉａ）には、「メルセンヌ素数」の項目（各国版）が掲載されていて参考になる。
Ｗｉｋｉｐｅｄｉａの英語、フランス語、ドイツ語版を比べてみると、発見者について、微妙な違いが判明する。
　とりわけ、１６世紀以前の最初の発見者については、各国で、それぞれの独自の名前が見られて興味深い。
　　新しい資料の発見によって、最初の発見者が新たに発掘されてきている現状がわかる。

　　Ｔａｂｌｅ　ｏｆ　ｋｎｏｗｎ　Ｍｅｒｓｅｎｎｅ　ｐｒｉｍｅｓ　　　　

　（参考：　GIMPSのウェブページ、『素数大百科』ｐ．７３）　　　（参考：　Ｗｉｋｉｐｅｄｉａ　「メルセンヌ数」）