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メルセンヌ素数 2004年2月15日、3月28日 柴田昭彦作成
2019年8月27日 一覧表を大幅に改訂
2023年1月21日 参考文献を追加
自分自身を除く約数の和が自分自身になる数を完全数という。
1 2 2 3
6=1+2+3=2 ×(2 -1) 28=1+2+4+7+14=2 ×(2 -1)
p-1 p
完全数: Perfect numbers P(p)=2 (2 -1)
フランスの数学者マラン・メルセンヌ(Marin Mersenne、1588-1648)は次の形の素数を研究した。
p
メルセンヌ素数: Mersenne primes M(p)=2 -1 (p:prime)
参考書として、次の本を紹介しておこう。Webページ “The Prime Pages” をもとに翻訳出版された画期的な事典である。
Chris K.Caldwell 編著、SOJIN 編訳『素数大百科』(共立出版、2004年2月)(5800円+税)
(メルセンヌ素数については、この本の第4章 p.59-86、 第6章 p.95-101、 第7章7 p.111-6、
用語編の p.169-171、 第11章4 p.268-270参照。) (p.373のHurwitzの同定にミスがある。)
中村滋『素数物語-アイディアの饗宴』(岩波書店、2019年)の41~42頁に「メルセンヌ素数の現状」が掲載してある。
この本は『素数定理発見物語』というべき内容で、興味深いので、一読をおすすめする。(2023年1月21日、追記)
メルセンヌ素数は、2018年12月末までに、51個発見されている。
メルセンヌ素数について、メルセンヌ素数発見プロジェクトGIMPS、といったサイトでデータが得られるだろう。
ウィキペディア(Wikipedia)には、「メルセンヌ素数」の項目(各国版)が掲載されていて参考になる。
Wikipediaの英語、フランス語、ドイツ語版を比べてみると、発見者について、微妙な違いが判明する。
とりわけ、16世紀以前の最初の発見者については、各国で、それぞれの独自の名前が見られて興味深い。
新しい資料の発見によって、最初の発見者が新たに発掘されてきている現状がわかる。
Table of known Mersenne primes
No. | p | digits | year(date) | discoverer |
1 | 2 | 1 | c.430 BC | Ancient Greek Mathematicians ※Wikipedia(英語) |
2 | 3 | 1 | c.430 BC | Ancient Greek Mathematicians ※Wikipedia(英語) |
3 | 5 | 2 | c.300 BC | Ancient Greek Mathematicians ※Wikipedia(英語) |
4 | 7 | 3 | c.300 BC | Ancient Greek Mathematicians ※Wikipedia(英語) |
5 | 13 | 4 | 13世紀 <1456> |
Ismail ibn Ibrahim ibn Fallus(1194-1239)※Wikipedia(フランス語) <anonymous> |
6 | 17 | 6 | 1555 <1588> |
Johann Scheubel(1494-1570) ※Wikipedia(ドイツ語) <Pietro Antonio Cataldi(1548-1626)> |
7 | 19 | 6 | 1555 <1588> |
Johann Scheubel(1494-1570) ※Wikipedia(ドイツ語) <Pietro Antonio Cataldi(1548-1626)> |
8 | 31 | 10 | 1772 | Leonhard Euler(1707-83) |
9 | 61 | 19 | 1883 <1886> |
Ivan Mikheevich Pervushin(1827-1900) <Paul Peter Heinrich Seelhoff(1829-96)> |
10 | 89 | 27 | 1911.6 | Ralph Ernest Powers(1875-1952) |
11 | 107 | 33 | 1914.6.1 | Ralph Ernest Powers(1875-1952) |
12 | 127 | 39 | 1876.1.10 | François Édouard Anatole Lucas(1842-91) |
13 | 521 | 157 | 1952.1.30 | Raphael Mitchel Robinson(1911-95) [&Derrick Henry Lehmer(1905-91)] |
14 | 607 | 183 | 1952.1.30 | Raphael Mitchel Robinson(1911-95) [&Derrick Henry Lehmer(1905-91)] |
15 | 1279 | 386 | 1952.6.25 | Raphael Mitchel Robinson(1911-95) [&Derrick Henry Lehmer(1905-91)] |
16 | 2203 | 664 | 1952.10.7 | Raphael Mitchel Robinson(1911-95) [&Derrick Henry Lehmer(1905-91)] |
17 | 2281 | 687 | 1952.10.9 | Raphael Mitchel Robinson(1911-95) [&Derrick Henry Lehmer(1905-91)] |
18 | 3217 | 969 | 1957.9.8 | Hans Riesel(1929-) (Hans Ivar Riesel) |
19 | 4253 | 1281 | 1961.11.3 | Alexander Hurwitz(1937-) [&John Lewis Selfridge(1927-2010)] |
20 | 4423 | 1332 | 1961.11.3 | Alexander Hurwitz(1937-) [&John Lewis Selfridge(1927-2010)] |
21 | 9689 | 2917 | 1963.5.11 | Donald Bruce Gillies(1928-75) |
22 | 9941 | 2993 | 1963.5.16 | Donald Bruce Gillies(1928-75) |
23 | 11213 | 3376 | 1963.6.2 | Donald Bruce Gillies(1928-75) |
24 | 19937 | 6002 | 1971.3.4 | Bryant Tuckerman(1915-2002) |
25 | 21701 | 6533 | 1978.10.30 | Landon Curt Noll (1960-)& Laura Ann Nickel (now: Ariel T.Glenn)(1960?-) |
26 | 23209 | 6987 | 1979.2.9 | Landon Curt Noll (1960-) |
27 | 44497 | 13395 | 1979.4.8 | Harry Lewis Nelson(1932-) & David Allen Slowinski |
28 | 86243 | 25962 | 1982.9.25 | David Allen Slowinski |
29 | 110503 | 33265 | 1988.1.28 | Walter N.Colquitt & Luke Welsh |
30 | 132049 | 39751 | 1983.9.20 | David Allen Slowinski |
31 | 216091 | 65050 | 1985.9.6 | David Allen Slowinski |
32 | 756839 | 227832 | 1992.2.19 | David Allen Slowinski & Paul Gage |
33 | 859433 | 258716 | 1994.1.10 | David Allen Slowinski & Paul Gage |
34 | 1257787 | 378632 | 1996.9.3 | David Allen Slowinski & Paul Gage |
35 | 1398269 | 420921 | 1996.11.13 | GIMPS/Joel Armengaud |
36 | 2976221 | 895932 | 1997.8.24 | GIMPS/Gordon Spence |
37 | 3021377 | 909526 | 1998.1.27 | GIMPS/Roland Clarkson |
38 | 6972593 | 2098960 | 1999.6.1 | GIMPS/Nayan Hajratwala |
39 | 13466917 | 4053946 | 2001.11.14 | GIMPS/Michael Cameron |
40 | 20996011 | 6320430 | 2003.11.17 | GIMPS/Michael Shafer |
41 | 24036583 | 7235733 | 2004.5.15 | GIMPS/Josh Findley |
42 | 25964951 | 7816230 | 2005.2.18 | GIMPS/Martin Nowak |
43 | 30402457 | 9152052 | 2005.12.15 | GIMPS/Curtis Cooper & Steven Boone |
44 | 32582657 | 9808358 | 2006.9.4 | GIMPS/Curtis Cooper & Steven Boone |
45 | 37156667 | 11185272 | 2008.9.6 | GIMPS/Hans-Michael Elvenich |
46 | 42643801 | 12837064 | 2009.4.12 | GIMPS/Odd Magnar Strindmo |
47 | 43112609 | 12978189 | 2008.8.23 | GIMPS/Edson Smith |
48? | 57885161 | 17425170 | 2013.1.25 | GIMPS/Curtis Cooper |
49? | 74207281 | 22338618 | 2015.9.17 2016.1.7 |
GIMPS/Curtis Cooper |
50? | 77232917 | 23249425 | 2017.12.26 | GIMPS/Jonathan Pace |
51? | 82589933 | 24862048 | 2018.12.7 | GIMPS/Patrick Laroche |
(参考: GIMPSのウェブページ、『素数大百科』p.73) (参考: Wikipedia 「メルセンヌ数」)