ウィリアム・シャンクスの計算

　シャンクスは１８１２年、イングランドに生まれ、寄宿学校を経営するかたわら、暇を見つけては、いろいろな
計算を行った。そのうちで最も有名なのが、円周率の計算である。１８８２年に没している。
　彼の円周率計算のきっかけは、スコットランドのウィリアム・ラザフォードに教えを受けたことで決定づけられた。

シャンクスの最初の円周率の計算は３１８桁で、１８５１年に完成している。ラザフォードが１８５２年に４４１桁に
達したことから、弟子のシャンクスは奮起して、同じ１８５２年に５３０桁に到達した。

Ｗｉｌｌｉａｍ　Ｒｕｔｈｅｒｆｏｒｄ，”Ｏｎ　ｔｈｅ　Ｅｘｔｅｎｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｖａｌｕｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｒａｔｉｏ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｉｒｃｕｍｆｅｒｅｎｃｅ
　ｏｆ　ａ　Ｃｉｒｃｌｅ　ｔｏ　ｉｔｓ　Ｄｉａｍｅｔｅｒ”，Ｐｒｃｅｅｄｉｎｇｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｒｏｙａｌ　Ｓｏｃｉｅｔｙ　ｏｆ　Ｌｏｎｄｏｎ，ｖｏｌ．６，
ｐｐ．２７３−２７５，１８５０−１８５４．（１８５３年刊）

先生のラザフォードの４４１桁は１８５３年に公表されたが、シャンクスの計算も先生の論文に組み入れられて
公表された。先生と弟子の計算は一致し、４４１桁の正しさを証明したが、このときのシャンクスの計算結果は、
今日、小数点以下５２８桁まで正しく、５２６〜５３０桁目は３９４８８となっていて、真値は３９４９４であった。

シャンクスは、後に、６０７桁（１８５３年）、７０７桁（１８７３年公表。計算期間は１８７１年から１８７２年ごろ）と
計算を進めたが、マチン公式において、ａｒｃｔａｎ（１／５）が５３０桁まで、ａｒｃｔａｎ（１／２３９）が５９１桁までしか
正しくなかったため、結果として、どちらでも、共通の誤植（４６０〜２桁目「８３４」、５１３〜５桁目「１９３」）を
抜きにしても、小数点以下５２７桁までしか正しくない（小数５２６〜５３０桁目は、３９５０１とあるが、真値は
３９４９４であった）。

おまけに、上の誤植に気づいて修正した２回目の７０７桁を公表した論文（１８７３年公表。１８７４年は誤り）には、
新たに、小数３２６桁目を２とすべきところ、３に誤植されてしまっていたのである。

　従って、シャンクスの計算は、先生のラザフォードの論文に組み入れて発表されたものが、最も精確で誤植
のない、世界一の記録（１８５３年公表の小数点以下５２８桁）を長い間、キープしていたことになるのである。

（＊）以上、計算の年代、計算結果については、レンチ博士の論文・資料を典拠としています。

シャンクスは、１８５３年の前半に６０７桁まで計算し、同時に５３０桁までの計算の詳細を記した著書を出版した。

Ｗｉｌｌｉａｍ　Ｓｈａｎｋｓ，Ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ　ｔｏ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ｃｏｍｐｒｉｓｉｎｇ　ｃｈｉｅｆｌｙ　ｔｈｅ　Ｒｅｃｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ
Ｃｉｒｃｌｅ　ｔｏ　６０７　Ｐｌａｃｅｓ　ｏｆ　Ｄｅｃｉｍａｌｓ，Ｌｏｎｄｏｎ，１８５３．

この本の中の、６０７桁の計算結果は、次のとおりである。
（８６ページの１行目が８７ページの１行目に続いているので、そのように読み取ってください。）