Note.(3)

文責: 吉野惇郎 2003-03-11

3.7 角運動量の合成 (つづき)

角運動量合成の形式論異なる部分空間にある二つの角運動量演算子 J_{1}, J_{2} から全角運動量 J を

J ≡ J_{1} ⊗ 1 + 1 ⊗ J_{2} = J_{1} + J_{2}

で定義する。

基底ケットの選び方として次の二通りがある: (A) J_{1}^{2}, J_{2}^{2}, J_{1z}, J_{2z} の同時固有ケット |j_{1}j_{2}; m_{1}m_{2}⟩ (B) J^{2}, J_{z}, J_{1}^{2}, J_{2}^{2} の同時固有ケット |j_{1}j_{2}; jm⟩

ここで、基底変換

|j_{1}j_{2}; jm⟩ = ∑_{m′_{1}} ∑_{m′_{2}} |j_{1}j_{2}; m′_{1}m′_{2}⟩⟨j_{1}j_{2}; m′_{1}m′_{2}|j_{1}j_{2}; jm⟩  (3.7.33)

が成り立つ。ここで現れた変換行列の要素 ⟨j_{1}j_{2}; m′_{1}m′_{2}|j_{1}j_{2}; jm′⟩ は Clebsh-Gordan 係数である。

Clebsh-Gordan 係数の性質:

• m = m′_{1} + m′_{2} でないと 0

• |j_{1} − J_{2}| ≤ j ≤ j_{1} + j_{2} でないと 0

• Clebsh-Gordan 係数はユニタリ行列をつくる。その行列要素は実にとることができ、このときは直交行列となる。

• 規格化条件 ∑_{m′_{1}} ∑_{m′_{2}} |⟨j_{1}j_{2}; m′_{1}m′_{2}|j_{1}j_{2}; jm⟩|^{2} = 1

note: (J_{z} − J_{1z} − J_{2z})|jm⟩ = 0 Clebsh-Gordan 係数に対する漸化式

\sqrt{j(j + 1) − m(m ± 1)}⟨j_{1}, j_{2}; m_{1}, m_{2}|j_{1}, j_{2}; j, m ± 1⟩ =
\sqrt{j_{1}(j_{1} + 1) − m_{1}(m_{1} ∓ 1)}⟨j_{1}, j_{2}; m_{1} ∓ 1, m_{2}|j_{1}, j_{2}; j, m⟩ +
\sqrt{j_{2}(j_{2} + 1) − m_{2}(m_{2} ∓ 1)}⟨j_{1}, j_{2}; m_{1}, m_{2} ∓ 1|j_{1}, j_{2}; j, m⟩

note: 式 (3.7.33) に左から⟨j_{1}, j_{2}; m_{1}, m_{2}|J_{±}, m_{1} + m_{2} = m ± 1

j_{1}, j_{2} が与えられると、 j として意味のある値は

j = j_{1} + j_{2}, j_{1} + j_{2} − 1, ..., |j_{1} − j_{2}|

に限られる。この中から j を一つ選び、その時の Clebsh-Gordan 係数の間の関係を図を用いて考える。

m′_{1}m′_{2}-平面を考える。ここで、 m′_{1} と m′_{2} の和 m′_{1} + m′_{2} の値を M と表記することにする。漸化式に対応する図を図 1, 図 2 に示した。

[figure: M = m; M = m + 1; (m_{1}, m_{2} − 1); (m_{1}, m_{2}); (m_{1} − 1, m_{2}); J_{+}; J_{2−}^{†}; J_{1−}^{†}; 斜辺上の点の m′_{1} と m′_{2} の和が m.; ⟨j_{1}j_{2}; m_{1}m_{2}|j_{1}j_{2}; jm⟩ を考え、このブラや; ケットの部分に J_{+} = J_{1−}^{†} + J_{2−}^{†} を作用させる; と漸化式の項と係数が得られる.; 漸化式に現れる Clebsh-Gordan 係数では、; ⟨j_{1}j_{2}; m′_{1}m′_{2}|j_{1}j_{2}; jm′⟩ の m′_{1}, m′_{2} の和と m′ が; 釣り合っていることに注意.]

図 1: J_{+} による Clebsh-Gordan 係数の関係

次に、 j_{1}, j_{2}, j が与えられたときに関係する Clebsh-Gordan 係数 ⟨j_{1}j_{2}; m_{1}m_{2}|j_{1}j_{2}; jm⟩ をすべて求める方法を考える。このとき許容される m_{1}, m_{2}, m の範囲は

m_{1} = −j_{1}, −j_{1} + 1, ..., j_{1}
m_{2} = −j_{2}, −j_{2} + 1, ..., j_{2}
m = −j, −j + 1, ..., j

[figure: M = m; M = m − 1; (m_{1} + 1, m_{2}); (m_{1}, m_{2}); (m_{1}, m_{2} + 1); J_{−}; J_{2+}^{†}; J_{1+}^{†}; 斜辺上の点の m′_{1} と m′_{2} の和が m.; ⟨j_{1}j_{2}; m_{1}m_{2}|j_{1}j_{2}; jm⟩ を考え、このブラや; ケットの部分に J_{−} = J_{1+}^{†} + J_{2+}^{†} を作用させる; と漸化式の項と係数が得られる.; 漸化式に現れる Clebsh-Gordan 係数では、; ⟨j_{1}j_{2}; m′_{1}m′_{2}|j_{1}j_{2}; jm′⟩ の m′_{1}, m′_{2} の和と m′ が; 釣り合っていることに注意.]

図 2: J_{−} による Clebsh-Gordan 係数の関係

であり、さらに

m = m_{1} + m_{2}

となる Clebsh-Gordan 係数のみ意味を持つ。これは m′_{1}m′_{2} 平面の図で示すと図 3 の太枠線の中ということになる。

また、規格化条件から、 m′_{1} + m′_{2} の値が等しい Clebsh-Gordan 係数 (図 3 では同一斜線上の点) の 2 乗和は 1 となる。

以上のことから、いくつかの任意性を除いて Clebsh-Gordan 係数を求めることができる。

以下に例をいくつか示した。

例 1: スピン 1/2 粒子 2 個のスピン角運動量の合成具体例としては、 He 原子の電子励起状態 (1s)^{1}(2s)^{1} における任意のスピン状態に対応するケットを展開する 2 種類の基底ケット、即ち 1s 軌道および 2s 軌道でのスピン固有ケットの直積 {| + +⟩, | + −⟩, | − +⟩, | − −⟩} と spin-orbit interaction を考慮した場合のエネルギー固有ケット {|0, 0⟩, |1, +1⟩, |1, 0⟩, |1, −1⟩} の間の関係を検討することなどが挙げられる。

次の順に考えていくことができる:

1. 意味をもつ s, m と Clebsh-Gordan 係数は図 4.

2. 三角形 A を考えて漸化式をつくる. 禁止されている点に相当する Clebsh-Gordan 係数は 0 ととる. 0 = \sqrt{\frac{1}{2} · \frac{3}{2} − \frac{1}{2}(−\frac{1}{2})}⟨\frac{1}{2} \frac{1}{2}; (−\frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|\frac{1}{2} \frac{1}{2}; 00⟩+\sqrt{\frac{1}{2} · \frac{3}{2} − \frac{1}{2}(−\frac{1}{2})}⟨\frac{1}{2} \frac{1}{2}; (+\frac{1}{2})(−\frac{1}{2})|\frac{1}{2} \frac{1}{2}; 00⟩.

[figure: m′_{2}; m′_{1}; m′_{1} = j_{1}; m′_{2} = −j_{2}; m′_{1} = −j_{1}; m′_{2} = j_{2}; M = j; M = j − 1; M = −j; M = −j + 1; M = m; (m_{1}, m_{2})] 図 3: 許容される m^{1}, m^{2}, m の範囲

3. 整理すると、 ⟨(−\frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|00⟩ + ⟨(+\frac{1}{2})(−\frac{1}{2})|00⟩ = 0. 規格化条件 |⟨(−\frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|00⟩|^{2} + |⟨(+\frac{1}{2})(−\frac{1}{2})|00⟩|^{2} = 1. Clebsh-Gordan 係数を実に、また ⟨(+\frac{1}{2})(−\frac{1}{2})|00⟩ を正にとることにすると、 ⟨(+\frac{1}{2})(−\frac{1}{2})|00⟩ = 1/\sqrt{2}, ⟨(−\frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|00⟩ = −1/\sqrt{2}.

4. 三角形 B, C, D を考えて漸化式をつくる.

\sqrt{1 · 2 − 1 · 0}⟨\frac{1}{2} \frac{1}{2}; (−\frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|\frac{1}{2} \frac{1}{2}; 10⟩ = \sqrt{\frac{1}{2} · \frac{3}{2} − (−\frac{1}{2})\frac{1}{2}}⟨\frac{1}{2} \frac{1}{2}; (+\frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|\frac{1}{2} \frac{1}{2}; 11⟩. \sqrt{1 · 2 − 0 · 1}⟨\frac{1}{2} \frac{1}{2}; (+\frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|\frac{1}{2} \frac{1}{2}; 11⟩ = \sqrt{\frac{1}{2} · \frac{3}{2} − \frac{1}{2}(−\frac{1}{2})}⟨\frac{1}{2} \frac{1}{2}; (−\frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|\frac{1}{2} \frac{1}{2}; 10⟩+\sqrt{\frac{1}{2} · \frac{3}{2} − \frac{1}{2}(−\frac{1}{2})}⟨\frac{1}{2} \frac{1}{2}; (+\frac{1}{2})(−\frac{1}{2})|\frac{1}{2} \frac{1}{2}; 10⟩. \sqrt{1 · 2 − 0 · (−1)}⟨\frac{1}{2} \frac{1}{2}; (−\frac{1}{2})(−\frac{1}{2})|\frac{1}{2} \frac{1}{2}; 1(−1)⟩ = \sqrt{\frac{1}{2} · \frac{3}{2} − (−\frac{1}{2})\frac{1}{2}}⟨\frac{1}{2} \frac{1}{2}; (+\frac{1}{2})(−\frac{1}{2})|\frac{1}{2} \frac{1}{2}; 10⟩+\sqrt{\frac{1}{2} · \frac{3}{2} − (−\frac{1}{2})\frac{1}{2}}⟨\frac{1}{2} \frac{1}{2}; (−\frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|\frac{1}{2} \frac{1}{2}; 10⟩.

5. 整理すると、\sqrt{2}⟨(−\frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|10⟩ = ⟨(+\frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|11⟩. \sqrt{2}⟨(+\frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|11⟩ = ⟨(−\frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|10⟩ + ⟨(+\frac{1}{2})(−\frac{1}{2})|10⟩. \sqrt{2}⟨(−\frac{1}{2})(−\frac{1}{2})|1(−1)⟩ = ⟨(+\frac{1}{2})(−\frac{1}{2})|10⟩ + ⟨(−\frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|10⟩. 規格化条件 |⟨(+\frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|11⟩|^{2} = 1. Clebsh-Gordan 係数を実に、また ⟨(+\frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|11⟩ を正にとることにすると、 ⟨(+\frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|11⟩ = 1, ⟨(−\frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|10⟩ = 1/\sqrt{2}, ⟨(+\frac{1}{2})(−\frac{1}{2})|10⟩ = 1/\sqrt{2}, ⟨(−\frac{1}{2})(−\frac{1}{2})|1(−1)⟩ = 1.

例 2: スピン 1/2 粒子 1 個の軌道角運動量とスピン角運動量の合成具体例としては、水素原子の電子の任意の軌道角運動量-スピン状態に対応するケッ

[figure: m′_{1}; m′_{2}; \frac{1}{2}; −\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; −\frac{1}{2}; m = 0; A; s = 0; m′_{1}; m′_{2}; \frac{1}{2}; −\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; −\frac{1}{2}; m = 0; m = 1; m = −1; B; C; D; s = 1] 図 4: 2 つのスピン 1/2 粒子のスピン角運動量の合成

トを展開する 2 種類の基底のセット、即ちスピンを除いて構成したときのエネルギー固有ケットとスピン固有ケットの直積と spin-orbit interaction を考慮した場合のエネルギー固有ケットの間の関係を検討することなどが挙げられる。

この例では l, j, m_{j} で指定される基底ケット |l, \frac{1}{2}; jm_{j}⟩ を l, m_{l}, m_{s} で指定される基底ケット |l, \frac{1}{2}; m_{l}m_{s}⟩ で展開した式を求める。

j = l + \frac{1}{2} のとき意味のある Clebsh-Gordan 係数の範囲は図 5.

[figure: m′_{l}; m′_{s}; m′_{l} = l; M = m_{j}; M = j = l + \frac{1}{2}; \frac{1}{2}; −\frac{1}{2}; E; F; G; H] 図 5: スピン 1/2 粒子の軌道角運動量とスピン角運動量の合成 (j = l + ^{\frac{1}{2}})

1. m_{j} に対応するのは黒丸. 上段の黒丸から出発する. 三角形 E,F,G と考えて、 2 項づつの漸化式を M が最大になるまでつくる. \sqrt{j(j + 1) − (m_{j} + 1)m_{j}}⟨l \frac{1}{2}; (m_{j} − \frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|l \frac{1}{2}; jm_{j}⟩ = \sqrt{l(l + 1) − (m_{j} − \frac{1}{2})(m_{j} + \frac{1}{2})}⟨l \frac{1}{2}; (m_{j} + \frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|l \frac{1}{2}; j(m_{j} + 1)⟩. \sqrt{j(j + 1) − (m_{j} + 2)(m_{j} + 1)}⟨l \frac{1}{2}; (m_{j} + \frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|l \frac{1}{2}; j(m_{j} + 1)⟩ = \sqrt{l(l + 1) − (m_{j} + \frac{1}{2})(m_{j} + \frac{3}{2})}⟨l \frac{1}{2}; (m_{j} + \frac{3}{2})(+\frac{1}{2})|l \frac{1}{2}; j(m_{j} + 2)⟩. ... \sqrt{j(j + 1) − j(j − 1)}⟨l \frac{1}{2}; (l − 1)(+\frac{1}{2})|l \frac{1}{2}; j(j − 1)⟩ = \sqrt{l(l + 1) − (l − 1)l}⟨l \frac{1}{2}; l(+\frac{1}{2})|l \frac{1}{2}; jj⟩.

2. 上段右隅の点に対応する ⟨l(+\frac{1}{2})|jj⟩ を実の正数 (= 1) に選ぶと、上段の Clebsh-Gordan 係数が決まる. ⟨(m_{j}−\frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|jm_{j}⟩ = \frac{\sqrt{(l−m_{j}+ \frac{1}{2} )(l+m_{j}+ \frac{1}{2} )}\sqrt{(l−m_{j}− \frac{1}{2} )(l+m_{j}+ \frac{3}{2} )}...\sqrt{1·(l+l)}}{\sqrt{(l+m_{j}+ \frac{3}{2} )(l−m_{j}+ \frac{1}{2} )}\sqrt{(l+m_{j}+ \frac{5}{2} )(l−m_{j}− \frac{1}{2} )}...\sqrt{(l+l+1)·1}}⟨l(+\frac{1}{2})|jj⟩

= \sqrt{\frac{j+m_{j}}{2j}} ⟨l(+\frac{1}{2})|jj⟩ = \sqrt{(j + m_{j})/2j}.

3. 三角形 H を考えて下段の黒丸に対応する Clebsh-Gordan 係数も決まる.

\sqrt{j(j + 1) − m_{j}(m_{j} + 1)}⟨l \frac{1}{2}; (m_{j} + \frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|l \frac{1}{2}; j(m_{j} + 1)⟩ = \sqrt{l(l + 1) − (m_{j} + \frac{1}{2})(m_{j} − \frac{1}{2})}⟨l \frac{1}{2}; (m_{j} − \frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|l \frac{1}{2}; jm_{j}⟩ + \sqrt{\frac{1}{2} \frac{3}{2} − \frac{1}{2}(−\frac{1}{2})}⟨l \frac{1}{2}; (m_{j} + \frac{1}{2})(−\frac{1}{2})|l \frac{1}{2}; jm_{j}⟩. 整理して ⟨(m_{j} + \frac{1}{2})(−\frac{1}{2})|jm_{j}⟩ = \sqrt{(j − m_{j})/2j}.

note: j(j + 1) − m(m + 1) = (j − m)(j + m + 1), j(j + 1) − m(m − 1) = (j + m)(j − m + 1)

以上より

|j = l + \frac{1}{2}, m_{j}⟩ = \sqrt{\frac{l + m_{j} + \frac{1}{2}}{2l + 1}} |m_{j} − \frac{1}{2}, +⟩ + \sqrt{\frac{l − m_{j} + \frac{1}{2}}{2l + 1}} |m_{j} + \frac{1}{2}, −⟩

また j = l − \frac{1}{2} のとき意味のある Clebsh-Gordan 係数の範囲は図 6.

1. m_{j} に対応するのは黒丸. 上段の黒丸から出発する.

j = l + \frac{1}{2} のときと同様にして ⟨(m_{j} − \frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|jm_{j}⟩ = \sqrt{j − m_{j} + 1}⟨(l − 1)(+\frac{1}{2})|jj⟩.

2. 三角形 Y について、\sqrt{2l}⟨(l − 1)(+\frac{1}{2})|jj⟩ + ⟨l(−\frac{1}{2})|jj⟩ = 0.

規格化条件 |⟨(l − 1)(+\frac{1}{2})|jj⟩|^{2} + |⟨l(−\frac{1}{2})|jj⟩|^{2} = 1. ⟨l(−\frac{1}{2})|jj⟩ を実かつ正にとることにすると、 ⟨l(−\frac{1}{2})|jj⟩ = \sqrt{2l/(2l + 1)}, ⟨(l − 1)(+\frac{1}{2})|jj⟩ = −\sqrt{1/(2l + 1)}. これより ⟨(m_{j} − \frac{1}{2})(+\frac{1}{2})|jm_{j}⟩ = −\sqrt{(j − m_{j} + 1)/(2l + 1)}.

3. 三角形 Z について検討することにより、 ⟨(m_{j}+\frac{1}{2})(−\frac{1}{2})|jm_{j}⟩ = \sqrt{(l + m + \frac{1}{2})/(2l + 1)}.

[figure: m′_{l}; m′_{s}; m′_{l} = l; M = m_{j}; M = j = l − \frac{1}{2}; \frac{1}{2}; −\frac{1}{2}; V; W; X; Y; Z] 図 6: スピン 1/2 粒子の軌道角運動量とスピン角運動量の合成 (j = l − ^{\frac{1}{2}}) 以上より

|j = l − \frac{1}{2}, m_{j}⟩ = −\sqrt{\frac{l − m_{j} + \frac{1}{2}}{2l + 1}} |m_{j} − \frac{1}{2}, +⟩ + \sqrt{\frac{l + m_{j} + \frac{1}{2}}{2l + 1}} |m_{j} + \frac{1}{2}, −⟩

l = 1 のときの基底ケットの式:

|\frac{3}{2}, \frac{3}{2}⟩ = |1, +⟩
|\frac{3}{2}, \frac{1}{2}⟩ = \sqrt{\frac{2}{3}}|0, +⟩ + \sqrt{\frac{1}{3}}|1, −⟩
|\frac{3}{2}, −\frac{1}{2}⟩ = \sqrt{\frac{1}{3}}| − 1, +⟩ + \sqrt{\frac{2}{3}}|0, −⟩
|\frac{3}{2}, −\frac{3}{2}⟩ = | − 1, −⟩
|\frac{1}{2}, \frac{1}{2}⟩ = −\sqrt{\frac{1}{3}}|0, +⟩ + \sqrt{\frac{2}{3}}|1, −⟩
|\frac{1}{2}, −\frac{1}{2}⟩ = −\sqrt{\frac{2}{3}}| − 1, +⟩ + \sqrt{\frac{1}{3}}|0, −⟩

Clebsh-Gordan 係数と回転行列