\documentclass{jarticle}
\usepackage{chemist}
\usepackage{Xymtex}
\title{Note.}
\author{����: �g�� �՘Y}
\date{2003-02-24}
\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}
\newcommand{\bra}[1]{\langle#1|}
\newcommand{\bracket}[2]{\langle#1|#2\rangle}
\newcommand{\expectation}[1]{\langle#1\rangle}
\begin{document}
  \maketitle
  \setcounter{section}{2}
  \subsection{���ԓI���W�ƃV�����[�f�B���K�[������}
�ʎq�͊w�ł͎��Ԃ͉��Z�q�ł͂Ȃ��B
  \paragraph{���ԓI���W�̉��Z�q}
�n�̏��$\ket{\alpha}$�̎��ԓI���W
  \begin{equation}
\ket{\alpha} = \ket{\alpha, t_{0}}
\reactrarrow[0\unitlength]{5\unitlength}{800\unitlength}{\mbox{���ԓI���W}}{}
\ket{\alpha, t_{0};t}
  \end{equation}
�ɂ��čl����B
���̓�̃P�b�g�����ԓI���W�̉��Z�q${\cal U}(t, t_{0})$�ɂ��
  \begin{equation}
\ket{\alpha, t_{0};t} = {\cal U}(t, t_{0})\ket{\alpha, t_{0}}
  \end{equation}
�̂悤�Ɋ֘A�Â���Ƃ��A����${\cal U}$�̎��ׂ������͈ȉ��̒ʂ�ł���B
  \begin{enumerate}
    \item{${\cal U}$�̓��j�^���[�ł���B\\
(�͂��߂�1�ɋK�i������Ă����P�b�g�͎��Ԃ������Ă�1�ɋK�i������Ă��Ȃ���΂Ȃ�Ȃ�)}
    \item{${\cal U}$�͍��� ${\cal U}(t_{2}, t_{0}) = {\cal U}(t_{2}, t_{1}){\cal U}(t_{1}, t_{0})$ �����藧�B}
    \item{${\cal U}(t_{0} + dt, t_{0})$�� $dt \rightarrow 0$�̋Ɍ��ōP�����Z�q�Ɉ�v����B}
  \end{enumerate}

�����̗v���𖞂������̂Ƃ���$\Omega$���G���~�[�g���Z�q�Ƃ��Ď��̂悤�ɂ�����B
  \begin{equation}
{\cal U}(t_{0} + dt, t_{0}) = {\bf 1} - i\Omega dt
  \end{equation}

�����̐U�����̎���������$\Omega$���n�~���g�j�A��$H$�� $\Omega = H / \hbar$�Ɗ֘A�Â���ƁA�����Ԃ��玞��dt�������ԓI���W������Ԃ����o�����Z�q��
  \begin{equation}
{\cal U}(t + dt, t) = {\bf 1} - \frac{iHdt}{\hbar}
  \end{equation}
�Ƃ�����B
  \paragraph{�V�����[�f�B���K�[������}
���Z�q${\cal U}$�̍����̐������玟�����������邱�Ƃ��킩��B
  \begin{equation}
{\cal U}(t + dt, t_{0}) - {\cal U}(t, t_{0}) = ({\cal U}(t + dt, t) -{\bf 1}){\cal U}(t, t_{0})
= - \frac{iHdt}{\hbar}{\cal U}(t, t_{0})
  \end{equation}
������A���Z�q${\cal U}$�̖���������������
  \begin{equation}
i\hbar \frac{\partial}{\partial t}{\cal U}(t, t_{0}) = H{\cal U}(t, t_{0})
  \end{equation}
���������B����͎��ԓI���W�̉��Z�q�ɑ΂���V�����[�f�B���K�[�������ł���B

���ӂɏ�����ԃP�b�g$\ket{\alpha, t_{0}}$���E���炩����ƁA
  \begin{equation}
i\hbar \frac{\partial}{\partial t}{\cal U}(t, t_{0})\ket{\alpha, t_{0}} = H{\cal U}(t, t_{0})\ket{\alpha, t_{0}}
  \end{equation}
�����ŁA$\ket{\alpha, t_{0}}$��$t$�ɂ��Ȃ�����A
  \begin{equation}
i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\ket{\alpha, t_{0}; t} = H\ket{\alpha, t_{0}; t}
  \end{equation}
�ƂȂ�A��ԃP�b�g�ɑ΂���V�����[�f�B���K�[������������ꂽ�B

�n�~���g�j�A��$H$�����ԂɈˑ����Ȃ��Ƃ��̎��ԓI���W�̉��Z�q�ɑ΂���V�����[�f�B���K�[�������̉���
  \begin{equation}
{\cal U}(t, t_{0}) = \exp (-\frac{iH(t-t_{0})}{\hbar})
  \end{equation}
�ƂȂ�B

���ԓI���W�̉��Z�q�ɑ΂���V�����[�f�B���K�[�������̉����킩��΁A������ԃP�b�g�ɍ�p�����邱�ƂŔC�ӎ����̏�ԃP�b�g��������B
  \paragraph{�G�l���M�[�ŗL�P�b�g}
�C�ӎ����ł̏�ԃP�b�g�𓾂邽�߂ɂ͏�����ԃP�b�g�Ɏ��ԓI���W�̉��Z�q����p������΂悢���A���̍�p����̓I�Ɍv�Z������@����������B

����I�u�U�[�o�u��$A$�������āA���ꂪ�n�~���g�j�A��$H$�ƌ�������Ƃ��A$A$�̌ŗL�P�b�g��$H$�̌ŗL�P�b�g(�G�l���M�[�ŗL�P�b�g)�ł�����B
$A$�̌ŗL�P�b�g$\ket{a'}$�ɂ��āA���������藧�B
  \begin{equation}
H\ket{a'} = E_{a'}\ket{a'}
  \end{equation}

�����ŁA$H$�����Ԃɂ��Ȃ��Ƃ��̎��ԓI���W�̉��Z�q��$A$�̌ŗL�P�b�g�œW�J�ł��A
  \begin{equation}
\exp (-\frac{iHt}{\hbar}) =
 \sum_{a'}\sum_{a"}\ket{a"}\bra{a"}\exp (-\frac{iHt}{\hbar})\ket{a'}\bra{a'} =
 \sum_{a'}\ket{a'}\exp (-\frac{iE_{a'}t}{\hbar})\bra{a'}
  \end{equation}
�ƂȂ�B������A������ԃP�b�g$\ket{\alpha}$��$A$�̌ŗL�P�b�g�œW�J����΁A��̓I�ɂ��̎��ԓI���W���v�Z�ł���B

$H$���݂��Ɍ������镡���̃I�u�U�[�o�u��$A, B, C, ...$�ƌ�������ꍇ�́A$A, B, C, ...$�̓����ŗL�P�b�g($H$�̓����ŗL�P�b�g�ł�����)$\ket{a', b', c', ...}$�Ŏ��ԓI���W�̉��Z�q��W�J�ł��A
  \begin{equation}
\exp (-\frac{iHt}{\hbar}) =
 \sum_{a', b', c', ...}\ket{a', b', c', ...}\exp (-\frac{iE_{a', b', c', ...}t}{\hbar})\bra{a', b', c', ...}
  \end{equation}
�ł���B

������A$H$�ƌ�������A�݂��Ɍ�������I�u�U�[�o�u���̊��S�ȃZ�b�g�����������A�����̓����ŗL�P�b�g�ł����ď�����ԃP�b�g�Ǝ��ԓI���W�̉��Z�q��W�J����΁A$H$�����Ԉˑ����Ȃ��Ƃ���ʓI�ȏ����l�����������Ƃ��ł���B
  \paragraph{���Ғl�̎��Ԉˑ���}
������Ԃ�$H$�ƌ�������I�u�U�[�o�u��$A$�̌ŗL��Ԃ̈��$\ket{a'}$�̏ꍇ�́A�C�ӂ̃I�u�U�[�o�u��$B$�ɂ��Ă��̊��Ғl$\expectation{B}$�́A
  \begin{equation}
\expectation{B} = \bra{a'}B\ket{a'}
  \end{equation}
  \begin{displaymath}
\reactdarrow[0\unitlength]{0\unitlength}{200\unitlength}{���ԓI���W}{}
  \end{displaymath}
  \begin{eqnarray*}
\bra{a'}{\cal U^{\dagger}}(t, 0)B{\cal U}(t, 0)\ket{a'}
&=&
\sum_{a"}\sum_{a"'}
\bracket{a'}{a"}\exp (\frac{iE_{a"}t}{\hbar})\bra{a"}B 
\ket{a"'}\exp (-\frac{iE_{a"'}t}{\hbar})\bracket{a"'}{a'}\\
&=&
\exp (\frac{iE_{a'}t}{\hbar})\bra{a'}B \ket{a'}\exp (-\frac{iE_{a'}t}{\hbar})\\
&=&
\bra{a'}B\ket{a'}
  \end{eqnarray*}
��莞�ԂɈˑ����Ȃ�(�����)�B

�������$\ket{\alpha}$�������Ԃ̂Ƃ��́A
  \begin{equation}
\ket{\alpha} = \sum_{a'} c_{a'}\ket{a'} 
  \end{equation}
�Ƃ��āA
  \begin{equation}
\expectation{B} = \bra{\alpha}B\ket{\alpha} = \sum_{a'}\sum_{a"}c_{a'}^{*}c_{a"}\bra{a'}B\ket{a"}
  \end{equation}
  \begin{displaymath}
\reactdarrow[0\unitlength]{0\unitlength}{200\unitlength}{���ԓI���W}{}
  \end{displaymath}
  \begin{eqnarray*}
\sum_{a'}\sum_{a"}c_{a'}^{*}c_{a"}\bra{a'}
{\cal U^{\dagger}}(t, 0)B{\cal U}(t, 0)\ket{a"}
&=&
\sum_{a'}\sum_{a"}c_{a'}^{*}c_{a"}
\exp (\frac{iE_{a'}t}{\hbar})\bra{a'}B \ket{a"}\exp (-\frac{iE_{a"}t}{\hbar})\\
&=&
\sum_{a'}\sum_{a"}
\exp (\frac{i(E_{a'}-E_{a"})t}{\hbar})
c_{a'}^{*}c_{a"}\bra{a'}B \ket{a"}
  \end{eqnarray*}
�Ɗ��Ғl���\������e�����U������B
  \paragraph{�X�s���΍��^��}
  \paragraph{���ւ̋�������уG�l���M�[-���Ԃ̕s�m��֌W}
�����ł͎��Ԃ���������̏�Ԃƌ��̏�Ԃ��ǂꂾ�����Ă��邩��������B

���ւ̋���$C(t)$�����̂悤�ɒ�`����B
  \begin{equation}
C(t) \equiv \bracket{\alpha}{\alpha, 0;t} = \bra{\alpha}{\cal U}(t, 0)\ket{\alpha}
  \end{equation}

$C(t)$�̐�Βl�͈قȂ鎞���̏�ԃP�b�g�Ԃ̗ގ��̋��x���ʓI�ɗ^����B

������Ԃ�$H$�ƌ�������I�u�U�[�o�u��$A$�̌ŗL���$\ket{a'}$�̂Ƃ��́A
  \begin{equation}
|C(t)| = |\bra{a'}\exp(-\frac{iHt}{\hbar})\ket{a'}| = |\bra{a'}\exp (-\frac{iE_{a'}t}{\hbar})\ket{a'}| = |\exp (-\frac{iE_{a'}t}{\hbar})| = 1
  \end{equation}
�ł���B

�����Ԃ̂Ƃ��̗�Ƃ��āA�G�l���M�[�����A���I�X�y�N�g�������悤�ȏꍇ���l����B
������ԃP�b�g
  \begin{equation}
\ket{\alpha} = \int dE\rho(E)g(E)\ket{E}
  \end{equation}
�ɂ��āA���ւ̋����̐�Βl�́A
  \begin{equation}
|C(t)| = \left|\int dE\rho(E)g^{*}(E)\bra{E}\int dE'\rho(E')g(E')\exp (-\frac{iE't}{\hbar})\ket{E}\right| = 
\left|\int dE|g(E)|^{2}\rho(E)\exp (-\frac{iEt}{\hbar})\right|
  \end{equation}
�ƂȂ�B
�����ŁA$|g(E)|^{2}\rho(E)$��$E=E_{0}$�̂܂��ŕ�$\Delta E$�̃s�[�N�����Ƃ���ƁA���ւ̋����̐�Βl��
  \begin{equation}
|C(t)| =\left|\exp (-\frac{iE_{0}t}{\hbar}) \int dE|g(E)|^{2}\rho(E)\exp (-\frac{i(E-E_{0})t}{\hbar})\right|
= \left|\int dE|g(E)|^{2}\rho(E)\exp (-\frac{i(E-E_{0})t}{\hbar})\right|
  \end{equation}
�ƂȂ�B

���̎��̔�ϕ��֐��ɒ��ڂ���ƁA$|E-E_{0}| < \hbar/t$�̃G�l���M�[�͈͂̊O���ł͔��ɑ����U�����A�ϕ��ւ̊�^�͂قƂ�ǂȂ��Ȃ��Ă���B
������A�X�y�N�g���̃s�[�N�̕�$\Delta E$���$\hbar/t$�������Ə������Ȃ�΁A���ւ̋��x�̐�Βl�̓[���ɋ߂Â����Ƃ��킩��B
����āA���� $\Delta t \simeq \hbar/\Delta E$ ���o�߂���Ə�ԃP�b�g�͂��Ƃ̌`�������͂��߂�B
  \subsection{�V�����[�f�B���K�[�\���ƃn�C�[���x���N�\��}
  \paragraph{���j�^���[���Z�q}
  \paragraph{�V�����[�f�B���K�[�\���ƃn�C�[���x���N�\���ɂ������ԃP�b�g�Ɗϑ���}
�V�����[�f�B���K�[�\���ł͎��Ԃɂ��ω����Ȃ����Z�q�Ǝ��ԕω������ԃP�b�g��p���ĕ\���B
�n�C�[���x���N�\���ł͎��ԕω����鉉�Z�q�Ǝ��Ԃɂ��ω����Ȃ���ԃP�b�g��p���ĕ\���B

�V�����[�f�B���K�[�\���̉��Z�q$A^{(S)}$�ƃn�C�[���x���N�\���̉��Z�q$A^{(H)}$�́A���ԓI���W�̉��Z�q${\cal U}(t, 0) = {\cal U}(t)$�ɂ�莟���Ŋ֘A�Â�����B
  \begin{equation}
A^{(H)} = {\cal U^{\dagger}}(t)A^{(S)}{\cal U}(t)
  \end{equation}

����$t$�ɂ�����I�u�U�[�o�u��$A$�̊��Ғl$\expectation{A}$�͕\���ɂ�炸�������B
  \begin{equation}
_{S}\bra{\alpha, 0;t}A^{(S)}\ket{\alpha, 0;t}_{S} =
(\bra{\alpha, 0}{\cal U^{\dagger}}(t))A({\cal U}(t)\ket{\alpha, 0}) =
\bra{\alpha, 0}({\cal U^{\dagger}}(t)A{\cal U}(t))\ket{\alpha, 0} =
_{H}\bra{\alpha}A^{(H)}(t)\ket{\alpha}_{H}
  \end{equation}
  \paragraph{�n�C�[���x���N�̉^��������}
�n�C�[���x���N�\���̉��Z�q$A^{(H)}$�͎��̃n�C�[���x���N�̉^���������𖞂����B
  \begin{equation}
\frac{dA^{(H)}}{dt} = \frac{1}{i\hbar}[A^{(H)}, H]
  \end{equation}
  \paragraph{���R���q�A�G�[�����t�F�X�g�̒藝}
  \paragraph{���P�b�g�ƑJ�ڐU��}
�I�u�U�[�o�u���̌ŗL�P�b�g�����P�b�g�ɑI�ԂƂ��A�V�����[�f�B���K�[�\���ł͉��Z�q�̌ŗL�P�b�g�͎��ԕω����Ȃ����Ƃ����P�b�g�����ԕω����Ȃ��B

�n�C�[���x���N�\���ꍇ�A���Z�q$A^{(H)}$�̌ŗL�P�b�g�̖������ŗL�l��������
  \begin{equation}
A^{(H)}({\cal U^{\dagger}}(t)\ket{a'}) = {\cal U^{\dagger}}(t)A(0){\cal U}(t){\cal U^{\dagger}}(t)\ket{a'} = a'({\cal U^{\dagger}}(t)\ket{a'})
  \end{equation}
���A�ŗL�P�b�g�͎��ԂƂƂ��ɕω�����${\cal U^{\dagger}}(t)\ket{a'}$�ł��邩��A��������P�b�g�ɑI�ԂƊ��P�b�g�͎��ԕω�����B
  \subsection{���a�U���q}
  \paragraph{�G�l���M�[�ŗL�P�b�g�ƃG�l���M�[�ŗL�l}
���a�U���q�̌ŗL�P�b�g�ƃG�l���M�[�ŗL�l�����߂�B

�n�~���g�j�A��$H$�͎��̒ʂ�ł���B
  \begin{equation}
H = \frac{p^{2}}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}
  \end{equation}

�����ŁA���ŉ��Z�q$a$�A�������Z�q$a^{\dagger}$�A�����Z�q$N$�����̂悤�ɒ�`����B
  \begin{equation}
a \equiv \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(x+\frac{ip}{m\omega})
  \end{equation}
  \begin{equation}
a^{\dagger} \equiv \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(x-\frac{ip}{m\omega})
  \end{equation}
  \begin{equation}
N \equiv a^{\dagger}a = \frac{H}{\hbar\omega} - \frac{1}{2}
  \end{equation}
������A$H$��$N$�ɂ͈ȉ��̊֌W����������B
  \begin{equation}
H = \hbar\omega(N+\frac{1}{2})
  \end{equation}

$N$�̌ŗL�l$n$�ɑ�����ŗL�P�b�g�͎����𖞂����B
  \begin{equation}
N\ket{n} = n\ket{n}
  \end{equation}
�����ŁA$N$��$H$�̊֌W���A
  \begin{equation}
H\ket{n} = (n+\frac{1}{2})\hbar\omega\ket{n}
  \end{equation}
�ł��邩��A$\ket{n}$��$H$�̌ŗL�P�b�g�ł�����A�G�l���M�[�ŗL�l
  \begin{equation}
E_{n} = (n+\frac{1}{2})\hbar\omega
  \end{equation}
�ɑ����邱�Ƃ��킩��B

$n$�����$\ket{n}$�̖������ׂ�������$a$��$a^{\dagger}$�ɂ��Č������邱�Ƃɂ�蓾����B
  \begin{equation}
[a, a^{\dagger}]=1
  \end{equation}
  \begin{equation}
[N, a]=-a
  \end{equation}
  \begin{equation}
[N, a^{\dagger}]=a^{\dagger}
  \end{equation}
�ƂȂ邱�Ƃ���A
  \begin{equation}
Na^{\dagger}\ket{n} = ([N, a^{\dagger}] + a^{\dagger}N)\ket{n} = (n+1)a^{\dagger}\ket{n}
  \end{equation}
  \begin{equation}
Na\ket{n} = ([N, a] + aN)\ket{n} = (n-1)a\ket{n}
  \end{equation}
�ƂȂ�A$a^{\dagger}\ket{n}$��$N$�̌ŗL�l$n+1$�ɑ�����ŗL�P�b�g�A$a\ket{n}$��$N$�̌ŗL�l$n-1$�ɑ�����ŗL�P�b�g�ł���B

������A
  \begin{equation}
a\ket{n} = c\ket{n-1}
  \end{equation}
�Ƃ����āA���萔c�����肷��B
���ӂ̓��ς��Ƃ�ƁA
  \begin{equation}
\bra{n}a^{\dagger}a\ket{n} = \bra{n}N\ket{n} = n = |c|^{2}
  \end{equation}
���Ac�𐳂̎����ɂƂ��
  \begin{equation}
a\ket{n} = \sqrt{n}\ket{n-1}
  \end{equation}
�܂��A���̌��ʂ��
  \begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{n+1}}a\ket{n+1} = \ket{n}
  \end{equation}
�ł��邩��A���ӂ�$a^{\dagger}$�������炩���Đ��������
  \begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{n+1}}a^{\dagger}a\ket{n+1} = \frac{1}{\sqrt{n+1}}N\ket{n+1} = 
\frac{n+1}{\sqrt{n+1}}\ket{n+1} = \sqrt{n+1}\ket{n+1} = a^{\dagger}\ket{n}
  \end{equation}
�]����
  \begin{equation}
a^{\dagger}\ket{n} = \sqrt{n+1}\ket{n+1}
  \end{equation}
������ꂽ�B

�����ŁA$a\ket{n}$�̃m���������łȂ����Ƃ�v������ƁA
  \begin{equation}
\bra{n}a^{\dagger}a\ket{n} = \bra{n}N\ket{n} = n \geq 0
  \end{equation}
�ƂȂ�A$n$��0�ȏ�łȂ���΂Ȃ�Ȃ����Ƃ��킩��B
����ɁA$\ket{n}$��a�����X�ɂ����Ă����Ƃ��Ar�𐳂̐����Ƃ���
  \begin{equation}
a^{r}\ket{n} = \sqrt{n(n-1)(n-2)...(n-r+1)}\ket{n-r}
  \end{equation}
�ł��邩��A$n \geq 0$�̏���������邽�߂ɂ�$n$�͕��łȂ������łȂ��Ă͂Ȃ�Ȃ��B
$n$�����łȂ������̂Ƃ��́A$\ket{n}$��$a$�����X�ɂ����ē�����P�b�g�̗�̍Ō��
  \begin{equation}
a\ket{0} = 0
  \end{equation}
�ƂȂ�A$n \geq 0$�ɔ�����悤��N�̌ŗL�P�b�g�͍��o����Ȃ��B

�ȏ�̂��Ƃ��A���a�U���q�̃G�l���M�[�ŗL��Ԃ́A����Ԃ�$n=0, \ket{0}$�ł���A����Ɏ��X�ɐ������Z�q�������Ă������Ƃɂ��A$\ket{n}$��
  \begin{equation}
\ket{n} = (\frac{(a^{\dagger})^{n}}{\sqrt{n!}})\ket{0}
  \end{equation}
�ƍ\�����邱�Ƃ��ł���B

�Ō�ɁA�G�l���M�[�ŗL��Ԃ̈ʒu��Ԃł̔g���֐�����̓I�ɋ��߂�B

����Ԃɂ��Ă�
  \begin{equation}
\bra{x'}a\ket{0} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\bra{x'}x+\frac{ip}{m\omega}\ket{0} = 0
  \end{equation}
�ł��邩��A
  \begin{equation}
\bra{x'}p\ket{\alpha} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x'}\bracket{x'}{\alpha}
  \end{equation}
�ɒ��ӂ���ƁA����������
  \begin{equation}
(x'+x_{0}^{2}\frac{d}{dx'})\bracket{x'}{0} = 0, \quad x_{0} \equiv \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}
  \end{equation}
��������̂ŁA����������ċK�i�������
  \begin{equation}
\bracket{x'}{0} = (\frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt{x_{0}}})\exp (-\frac{1}{2}(\frac{x'}{x_{0}})^{2})
  \end{equation}
�ƂȂ�B

��N��Ԃɂ��Ă͐������Z�q�ɂ�莟�X�Ɣ��������s���邱�Ƃɂ��A
  \begin{equation}
\bracket{x'}{n} = \bra{x'}(\frac{(a^{\dagger})^{n}}{\sqrt{n!}})\ket{0}
= 
(\frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt{2^{n}n!}})(\frac{1}{x_{0}^{n+1/2}})(x'-x_{0}^{2}\frac{d}{dx'})^{n}\exp (-\frac{1}{2}(\frac{x'}{x_{0}})^{2})
  \end{equation}
�Ɠ�����B
  \paragraph{�U���q�̎��ԓI���W}
  \subsection{�V�����[�f�B���K�[�̔g��������}
  \paragraph{���ԂɈˑ�����g��������}
�n�~���g�j�A��$H$�������̂悤�ɂƂ�B
  \begin{equation}
H = \frac{{\bf p}^{2}}{2m} + V({\bf x})
  \end{equation}
���̂Ƃ��|�e���V����$V({\bf x})$�̓G���~�[�g���Z�q�ł��Ǐ��I
  \begin{equation}
\bra{{\bf x"}}V({\bf x})\ket{{\bf x'}} = V({\bf x'})\delta^{3}({\bf x'}-{\bf x"}), \quad V({\bf x'})\mbox{��}{\bf x'}\mbox{�̎��֐�}
  \end{equation}
�ɂƂ�B

�����ŁA�V�����[�f�B���K�[�\���ňʒu�ŗL�u���͎��ԂɈˑ����Ȃ����Ƃ��A
��ԃP�b�g�ɑ΂���V�����[�f�B���K�[��������x-���ł���킵�����͎̂��̂悤�ɂ�����B
  \begin{equation}
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\bracket{{\bf x'}}{\alpha, t_{0};t} = \bra{{\bf x'}}H\ket{\alpha, t_{0};t}
  \end{equation}
���̎��̉E�ӂ�
  \begin{equation}
-(\frac{\hbar^{2}}{2m})\nabla '^{2}\bracket{{\bf x'}}{\alpha, t_{0};t}
+ V({\bf x'})\bracket{{\bf x'}}{\alpha, t_{0};t}
  \end{equation}
�ł���B������A�g���֐�$\bracket{{\bf x'}}{\alpha, t_{0};t}$��$\psi({\bf x'}, t)$�Ə����΁A�V�����[�f�B���K�[�̎��ԂɈˑ�����g��������
  \begin{equation}
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi({\bf x'}, t)
=
-(\frac{\hbar^{2}}{2m})\nabla '^{2}\psi({\bf x'}, t)
+ V({\bf x'})\psi({\bf x'}, t)
  \end{equation}
��������B
  \paragraph{���ԂɈˑ����Ȃ��g��������}
�G�l���M�[�ŗL��Ԃɂ��ẴV�����[�f�B���K�[����������������B

$H$�ƌ�������I�u�U�[�o�u��$A$�̎���t�ɂ�����ŗL��Ԃ̎��Ԉˑ����́A
  \begin{equation}
\ket{a', t_{0};t} = \exp(-\frac{iE_{a'}t}{\hbar})\ket{a'}
  \end{equation}
�ł���B��������ԂɈˑ�����V�����[�f�B���K�[�������ɑ�������
  \begin{equation}
-(\frac{\hbar^{2}}{2m})\nabla '^{2}\bracket{{\bf x'}}{a'}
+ V({\bf x'})\bracket{{\bf x'}}{a'} = E_{a'}\bracket{{\bf x'}}{a'}
  \end{equation}
�ƂȂ�B

�����ł�$A$��${\bf x}$��${\bf p}$�̊֐��Ƃ���$H$�ƈ�v����悤�ɑI�Ԃ��Ƃ��ł��邩��A$A$����̓I�Ɏ����K�v�͂Ȃ��B
������A����ꂽ������G�l���M�[�ŗL�֐�$u_{E}({\bf x'})$�̖������Δ����������ł���A���ԂɈˑ����Ȃ��V�����[�f�B���K�[�̔g��������
  \begin{equation}
-(\frac{\hbar^{2}}{2m})\nabla '^{2}u_{E}({\bf x'})
+ V({\bf x'})u_{E}({\bf x'}) = E_{a'}u_{E}({\bf x'})
  \end{equation}
��������B
  \paragraph{�g���֐��̉���}
  \paragraph{�ÓT�I�Ɍ�}
  \paragraph{���ÓT�I(WKB)�ߎ�}
\end{document}