\documentclass{jarticle}
\usepackage{chemist}
\usepackage{Xymtex}
\title{Note.}
\author{ʸ��: ���� ��Ϻ}
\date{2003-02-24}
\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}
\newcommand{\bra}[1]{\langle#1|}
\newcommand{\bracket}[2]{\langle#1|#2\rangle}
\newcommand{\expectation}[1]{\langle#1\rangle}
\begin{document}
  \maketitle
  \setcounter{section}{2}
  \subsection{����ŪȯŸ�ȥ���졼�ǥ��󥬡�������}
�̻��ϳؤǤϻ��֤ϱ黻�ҤǤϤʤ���
  \paragraph{����ŪȯŸ�α黻��}
�Ϥξ���$\ket{\alpha}$�λ���ŪȯŸ
  \begin{equation}
\ket{\alpha} = \ket{\alpha, t_{0}}
\reactrarrow[0\unitlength]{5\unitlength}{800\unitlength}{\mbox{����ŪȯŸ}}{}
\ket{\alpha, t_{0};t}
  \end{equation}
�ˤĤ��ƹͤ��롣
������ĤΥ��åȤ����ŪȯŸ�α黻��${\cal U}(t, t_{0})$�ˤ��
  \begin{equation}
\ket{\alpha, t_{0};t} = {\cal U}(t, t_{0})\ket{\alpha, t_{0}}
  \end{equation}
�Τ褦�˴�Ϣ�Ť���Ȥ�������${\cal U}$�λ��Ĥ٤������ϰʲ����̤�Ǥ��롣
  \begin{enumerate}
    \item{${\cal U}$�ϥ�˥��꡼�Ǥ��롣\\
(�Ϥ����1�˵��ʲ�����Ƥ������åȤϻ��֤����äƤ�1�˵��ʲ�����Ƥ��ʤ���Фʤ�ʤ�)}
    \item{${\cal U}$�Ϲ��� ${\cal U}(t_{2}, t_{0}) = {\cal U}(t_{2}, t_{1}){\cal U}(t_{1}, t_{0})$ ������Ω�ġ�}
    \item{${\cal U}(t_{0} + dt, t_{0})$�� $dt \rightarrow 0$�ζ˸¤ǹ����黻�Ҥ˰��פ��롣}
  \end{enumerate}

��������������������ΤȤ���$\Omega$�򥨥�ߡ��ȱ黻�ҤȤ��Ƽ��Τ褦�ˤ����롣
  \begin{equation}
{\cal U}(t_{0} + dt, t_{0}) = {\bf 1} - i\Omega dt
  \end{equation}

�����ο�ư���μ��������$\Omega$��ϥߥ�ȥ˥���$H$�� $\Omega = H / \hbar$�ȴ�Ϣ�Ť���ȡ�������֤������dt��������ŪȯŸ�������֤���Ф��黻�Ҥ�
  \begin{equation}
{\cal U}(t + dt, t) = {\bf 1} - \frac{iHdt}{\hbar}
  \end{equation}
�Ȥ����롣
  \paragraph{����졼�ǥ��󥬡�������}
�黻��${\cal U}$�ι������������鼡������Ω���뤳�Ȥ��狼�롣
  \begin{equation}
{\cal U}(t + dt, t_{0}) - {\cal U}(t, t_{0}) = ({\cal U}(t + dt, t) -{\bf 1}){\cal U}(t, t_{0})
= - \frac{iHdt}{\hbar}{\cal U}(t, t_{0})
  \end{equation}
�����ꡢ�黻��${\cal U}$����������ʬ������
  \begin{equation}
i\hbar \frac{\partial}{\partial t}{\cal U}(t, t_{0}) = H{\cal U}(t, t_{0})
  \end{equation}
��Ƴ����롣����ϻ���ŪȯŸ�α黻�Ҥ��Ф��륷��졼�ǥ��󥬡��������Ǥ��롣

ξ�դ˽�����֥��å�$\ket{\alpha, t_{0}}$�򱦤��餫����ȡ�
  \begin{equation}
i\hbar \frac{\partial}{\partial t}{\cal U}(t, t_{0})\ket{\alpha, t_{0}} = H{\cal U}(t, t_{0})\ket{\alpha, t_{0}}
  \end{equation}
�����ǡ�$\ket{\alpha, t_{0}}$��$t$�ˤ��ʤ����顢
  \begin{equation}
i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\ket{\alpha, t_{0}; t} = H\ket{\alpha, t_{0}; t}
  \end{equation}
�Ȥʤꡢ���֥��åȤ��Ф��륷��졼�ǥ��󥬡�������������줿��

�ϥߥ�ȥ˥���$H$�����֤˰�¸���ʤ��Ȥ��λ���ŪȯŸ�α黻�Ҥ��Ф��륷��졼�ǥ��󥬡��������β��
  \begin{equation}
{\cal U}(t, t_{0}) = \exp (-\frac{iH(t-t_{0})}{\hbar})
  \end{equation}
�Ȥʤ롣

����ŪȯŸ�α黻�Ҥ��Ф��륷��졼�ǥ��󥬡��������β򤬤狼��С�������֥��åȤ˺��Ѥ����뤳�Ȥ�Ǥ�ջ���ξ��֥��åȤ������롣
  \paragraph{���ͥ륮����ͭ���å�}
Ǥ�ջ���Ǥξ��֥��åȤ����뤿��ˤϽ�����֥��åȤ˻���ŪȯŸ�α黻�Ҥ���Ѥ�����Ф褤�������κ��Ѥ����Ū�˷׻�������ˡ��Ƥ���롣

���륪�֥����Х֥�$A$�����äơ����줬�ϥߥ�ȥ˥���$H$�ȸ򴹤���Ȥ���$A$�θ�ͭ���åȤ�$H$�θ�ͭ���å�(���ͥ륮����ͭ���å�)�Ǥ⤢�롣
$A$�θ�ͭ���å�$\ket{a'}$�ˤĤ��ơ�����������Ω�ġ�
  \begin{equation}
H\ket{a'} = E_{a'}\ket{a'}
  \end{equation}

�����ǡ�$H$�����֤ˤ��ʤ��Ȥ��λ���ŪȯŸ�α黻�Ҥ�$A$�θ�ͭ���åȤ�Ÿ���Ǥ���
  \begin{equation}
\exp (-\frac{iHt}{\hbar}) =
 \sum_{a'}\sum_{a"}\ket{a"}\bra{a"}\exp (-\frac{iHt}{\hbar})\ket{a'}\bra{a'} =
 \sum_{a'}\ket{a'}\exp (-\frac{iE_{a'}t}{\hbar})\bra{a'}
  \end{equation}
�Ȥʤ롣�����ꡢ������֥��å�$\ket{\alpha}$��$A$�θ�ͭ���åȤ�Ÿ������С�����Ū�ˤ��λ���ŪȯŸ��׻��Ǥ��롣

$H$���ߤ��˸򴹤���ʣ���Υ��֥����Х֥�$A, B, C, ...$�ȸ򴹤�����ϡ�$A, B, C, ...$��Ʊ����ͭ���å�($H$��Ʊ����ͭ���åȤǤ⤢��)$\ket{a', b', c', ...}$�ǻ���ŪȯŸ�α黻�Ҥ�Ÿ���Ǥ���
  \begin{equation}
\exp (-\frac{iHt}{\hbar}) =
 \sum_{a', b', c', ...}\ket{a', b', c', ...}\exp (-\frac{iE_{a', b', c', ...}t}{\hbar})\bra{a', b', c', ...}
  \end{equation}
�Ǥ��롣

�����ꡢ$H$�ȸ򴹤��롢�ߤ��˸򴹤��륪�֥����Х֥�δ����ʥ��åȤ򸫤�������������Ʊ����ͭ���åȤǤ�äƽ�����֥��åȤȻ���ŪȯŸ�α黻�Ҥ�Ÿ������С�$H$�����ְ�¸���ʤ��Ȥ�����Ū�ʽ���������򤯤��Ȥ��Ǥ��롣
  \paragraph{�����ͤλ��ְ�¸��}
������֤�$H$�ȸ򴹤��륪�֥����Х֥�$A$�θ�ͭ���֤ΰ��$\ket{a'}$�ξ��ϡ�Ǥ�դΥ��֥����Х֥�$B$�ˤĤ��Ƥ��δ�����$\expectation{B}$�ϡ�
  \begin{equation}
\expectation{B} = \bra{a'}B\ket{a'}
  \end{equation}
  \begin{displaymath}
\reactdarrow[0\unitlength]{0\unitlength}{200\unitlength}{����ŪȯŸ}{}
  \end{displaymath}
  \begin{eqnarray*}
\bra{a'}{\cal U^{\dagger}}(t, 0)B{\cal U}(t, 0)\ket{a'}
&=&
\sum_{a"}\sum_{a"'}
\bracket{a'}{a"}\exp (\frac{iE_{a"}t}{\hbar})\bra{a"}B 
\ket{a"'}\exp (-\frac{iE_{a"'}t}{\hbar})\bracket{a"'}{a'}\\
&=&
\exp (\frac{iE_{a'}t}{\hbar})\bra{a'}B \ket{a'}\exp (-\frac{iE_{a'}t}{\hbar})\\
&=&
\bra{a'}B\ket{a'}
  \end{eqnarray*}
�����֤˰�¸���ʤ�(������)��

�������$\ket{\alpha}$���������֤ΤȤ��ϡ�
  \begin{equation}
\ket{\alpha} = \sum_{a'} c_{a'}\ket{a'} 
  \end{equation}
�Ȥ��ơ�
  \begin{equation}
\expectation{B} = \bra{\alpha}B\ket{\alpha} = \sum_{a'}\sum_{a"}c_{a'}^{*}c_{a"}\bra{a'}B\ket{a"}
  \end{equation}
  \begin{displaymath}
\reactdarrow[0\unitlength]{0\unitlength}{200\unitlength}{����ŪȯŸ}{}
  \end{displaymath}
  \begin{eqnarray*}
\sum_{a'}\sum_{a"}c_{a'}^{*}c_{a"}\bra{a'}
{\cal U^{\dagger}}(t, 0)B{\cal U}(t, 0)\ket{a"}
&=&
\sum_{a'}\sum_{a"}c_{a'}^{*}c_{a"}
\exp (\frac{iE_{a'}t}{\hbar})\bra{a'}B \ket{a"}\exp (-\frac{iE_{a"}t}{\hbar})\\
&=&
\sum_{a'}\sum_{a"}
\exp (\frac{i(E_{a'}-E_{a"})t}{\hbar})
c_{a'}^{*}c_{a"}\bra{a'}B \ket{a"}
  \end{eqnarray*}
�ȴ����ͤ�������ƹब��ư���롣
  \paragraph{���ԥ�к���ư}
  \paragraph{��ؤζ�������ӥ��ͥ륮��-���֤��Գ���ط�}
�����Ǥϻ��֤����ä���ξ��֤ȸ��ξ��֤��ɤ�������Ƥ��뤫��Ƥ���롣

��ؤζ���$C(t)$�򼡤Τ褦��������롣
  \begin{equation}
C(t) \equiv \bracket{\alpha}{\alpha, 0;t} = \bra{\alpha}{\cal U}(t, 0)\ket{\alpha}
  \end{equation}

$C(t)$�������ͤϰۤʤ����ξ��֥��åȴ֤�����ζ��٤�����Ū��Ϳ���롣

������֤�$H$�ȸ򴹤��륪�֥����Х֥�$A$�θ�ͭ����$\ket{a'}$�ΤȤ��ϡ�
  \begin{equation}
|C(t)| = |\bra{a'}\exp(-\frac{iHt}{\hbar})\ket{a'}| = |\bra{a'}\exp (-\frac{iE_{a'}t}{\hbar})\ket{a'}| = |\exp (-\frac{iE_{a'}t}{\hbar})| = 1
  \end{equation}
�Ǥ��롣

�������֤ΤȤ�����Ȥ��ơ����ͥ륮������Ϣ³Ū���ڥ��ȥ����Ĥ褦�ʾ���ͤ��롣
������֥��å�
  \begin{equation}
\ket{\alpha} = \int dE\rho(E)g(E)\ket{E}
  \end{equation}
�ˤĤ��ơ���ؤζ����������ͤϡ�
  \begin{equation}
|C(t)| = \left|\int dE\rho(E)g^{*}(E)\bra{E}\int dE'\rho(E')g(E')\exp (-\frac{iE't}{\hbar})\ket{E}\right| = 
\left|\int dE|g(E)|^{2}\rho(E)\exp (-\frac{iEt}{\hbar})\right|
  \end{equation}
�Ȥʤ롣
�����ǡ�$|g(E)|^{2}\rho(E)$��$E=E_{0}$�Τޤ�����$\Delta E$�Υԡ�������ĤȤ���ȡ���ؤζ����������ͤ�
  \begin{equation}
|C(t)| =\left|\exp (-\frac{iE_{0}t}{\hbar}) \int dE|g(E)|^{2}\rho(E)\exp (-\frac{i(E-E_{0})t}{\hbar})\right|
= \left|\int dE|g(E)|^{2}\rho(E)\exp (-\frac{i(E-E_{0})t}{\hbar})\right|
  \end{equation}
�Ȥʤ롣

���μ�������ʬ�ؿ������ܤ���ȡ�$|E-E_{0}| < \hbar/t$�Υ��ͥ륮���ϰϤγ�¦�Ǥ�����®����ư������ʬ�ؤδ�Ϳ�ϤۤȤ�ɤʤ��ʤäƤ��롣
�����ꡢ���ڥ��ȥ�Υԡ�������$\Delta E$���$\hbar/t$�����äȾ������ʤ�С���ؤζ��٤������ͤϥ����˶�Ť����Ȥ��狼�롣
��äơ����� $\Delta t \simeq \hbar/\Delta E$ ���в᤹��Ⱦ��֥��åȤϤ�Ȥη��򼺤��Ϥ���롣
  \subsection{����졼�ǥ��󥬡�ɽ���ȥϥ�����٥륯ɽ��}
  \paragraph{��˥��꡼�黻��}
  \paragraph{����졼�ǥ��󥬡�ɽ���ȥϥ�����٥륯ɽ���ˤ�������֥��åȤȴ�¬��}
����졼�ǥ��󥬡�ɽ���Ǥϻ��֤ˤ���Ѳ����ʤ��黻�ҤȻ����Ѳ�������֥��åȤ��Ѥ���ɽ����
�ϥ�����٥륯ɽ���Ǥϻ����Ѳ�����黻�ҤȻ��֤ˤ���Ѳ����ʤ����֥��åȤ��Ѥ���ɽ����

����졼�ǥ��󥬡�ɽ���α黻��$A^{(S)}$�ȥϥ�����٥륯ɽ���α黻��$A^{(H)}$�ϡ�����ŪȯŸ�α黻��${\cal U}(t, 0) = {\cal U}(t)$�ˤ�꼡���Ǵ�Ϣ�Ť����롣
  \begin{equation}
A^{(H)} = {\cal U^{\dagger}}(t)A^{(S)}{\cal U}(t)
  \end{equation}

����$t$�ˤ����륪�֥����Х֥�$A$�δ�����$\expectation{A}$��ɽ���ˤ�餺��������
  \begin{equation}
_{S}\bra{\alpha, 0;t}A^{(S)}\ket{\alpha, 0;t}_{S} =
(\bra{\alpha, 0}{\cal U^{\dagger}}(t))A({\cal U}(t)\ket{\alpha, 0}) =
\bra{\alpha, 0}({\cal U^{\dagger}}(t)A{\cal U}(t))\ket{\alpha, 0} =
_{H}\bra{\alpha}A^{(H)}(t)\ket{\alpha}_{H}
  \end{equation}
  \paragraph{�ϥ�����٥륯�α�ư������}
�ϥ�����٥륯ɽ���α黻��$A^{(H)}$�ϼ��Υϥ�����٥륯�α�ư����������������
  \begin{equation}
\frac{dA^{(H)}}{dt} = \frac{1}{i\hbar}[A^{(H)}, H]
  \end{equation}
  \paragraph{��ͳγ�ҡ��������ե����Ȥ�����}
  \paragraph{���쥱�åȤ����ܿ���}
���֥����Х֥�θ�ͭ���åȤ���쥱�åȤ����֤Ȥ�������졼�ǥ��󥬡�ɽ���Ǥϱ黻�Ҥθ�ͭ���åȤϻ����Ѳ����ʤ����Ȥ����쥱�åȤ�����Ѳ����ʤ���

�ϥ�����٥륯ɽ����硢�黻��$A^{(H)}$�θ�ͭ���åȤ���������ͭ����������
  \begin{equation}
A^{(H)}({\cal U^{\dagger}}(t)\ket{a'}) = {\cal U^{\dagger}}(t)A(0){\cal U}(t){\cal U^{\dagger}}(t)\ket{a'} = a'({\cal U^{\dagger}}(t)\ket{a'})
  \end{equation}
��ꡢ��ͭ���åȤϻ��֤ȤȤ���Ѳ�����${\cal U^{\dagger}}(t)\ket{a'}$�Ǥ��뤫�顢�������쥱�åȤ����֤ȴ��쥱�åȤϻ����Ѳ����롣
  \subsection{Ĵ�¿�ư��}
  \paragraph{���ͥ륮����ͭ���åȤȥ��ͥ륮����ͭ��}
Ĵ�¿�ư�Ҥθ�ͭ���åȤȥ��ͥ륮����ͭ�ͤ���롣

�ϥߥ�ȥ˥���$H$�ϼ����̤�Ǥ��롣
  \begin{equation}
H = \frac{p^{2}}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}
  \end{equation}

�����ǡ����Ǳ黻��$a$�������黻��$a^{\dagger}$���Ŀ��黻��$N$�򼡤Τ褦��������롣
  \begin{equation}
a \equiv \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(x+\frac{ip}{m\omega})
  \end{equation}
  \begin{equation}
a^{\dagger} \equiv \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(x-\frac{ip}{m\omega})
  \end{equation}
  \begin{equation}
N \equiv a^{\dagger}a = \frac{H}{\hbar\omega} - \frac{1}{2}
  \end{equation}
�����ꡢ$H$��$N$�ˤϰʲ��δط�����Ω���롣
  \begin{equation}
H = \hbar\omega(N+\frac{1}{2})
  \end{equation}

$N$�θ�ͭ��$n$��°�����ͭ���åȤϼ�������������
  \begin{equation}
N\ket{n} = n\ket{n}
  \end{equation}
�����ǡ�$N$��$H$�δط���ꡢ
  \begin{equation}
H\ket{n} = (n+\frac{1}{2})\hbar\omega\ket{n}
  \end{equation}
�Ǥ��뤫�顢$\ket{n}$��$H$�θ�ͭ���åȤǤ⤢�ꡢ���ͥ륮����ͭ��
  \begin{equation}
E_{n} = (n+\frac{1}{2})\hbar\omega
  \end{equation}
��°���뤳�Ȥ��狼�롣

$n$�����$\ket{n}$���������٤�����$a$��$a^{\dagger}$�ˤĤ��Ƹ�Ƥ���뤳�Ȥˤ�������롣
  \begin{equation}
[a, a^{\dagger}]=1
  \end{equation}
  \begin{equation}
[N, a]=-a
  \end{equation}
  \begin{equation}
[N, a^{\dagger}]=a^{\dagger}
  \end{equation}
�Ȥʤ뤳�Ȥ��顢
  \begin{equation}
Na^{\dagger}\ket{n} = ([N, a^{\dagger}] + a^{\dagger}N)\ket{n} = (n+1)a^{\dagger}\ket{n}
  \end{equation}
  \begin{equation}
Na\ket{n} = ([N, a] + aN)\ket{n} = (n-1)a\ket{n}
  \end{equation}
�Ȥʤꡢ$a^{\dagger}\ket{n}$��$N$�θ�ͭ��$n+1$��°�����ͭ���åȡ�$a\ket{n}$��$N$�θ�ͭ��$n-1$��°�����ͭ���åȤǤ��롣

�����ꡢ
  \begin{equation}
a\ket{n} = c\ket{n-1}
  \end{equation}
�Ȥ����ơ������c����ꤹ�롣
ξ�դ����Ѥ�Ȥ�ȡ�
  \begin{equation}
\bra{n}a^{\dagger}a\ket{n} = \bra{n}N\ket{n} = n = |c|^{2}
  \end{equation}
��ꡢc�����μ¿��ˤȤ��
  \begin{equation}
a\ket{n} = \sqrt{n}\ket{n-1}
  \end{equation}
�ޤ������η�̤��
  \begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{n+1}}a\ket{n+1} = \ket{n}
  \end{equation}
�Ǥ��뤫�顢ξ�դ�$a^{\dagger}$�򺸤��餫�������������
  \begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{n+1}}a^{\dagger}a\ket{n+1} = \frac{1}{\sqrt{n+1}}N\ket{n+1} = 
\frac{n+1}{\sqrt{n+1}}\ket{n+1} = \sqrt{n+1}\ket{n+1} = a^{\dagger}\ket{n}
  \end{equation}
���ä�
  \begin{equation}
a^{\dagger}\ket{n} = \sqrt{n+1}\ket{n+1}
  \end{equation}
������줿��

�����ǡ�$a\ket{n}$�ΥΥ�ब��Ǥʤ����Ȥ���������ȡ�
  \begin{equation}
\bra{n}a^{\dagger}a\ket{n} = \bra{n}N\ket{n} = n \geq 0
  \end{equation}
�Ȥʤꡢ$n$��0�ʾ�Ǥʤ���Фʤ�ʤ����Ȥ��狼�롣
����ˡ�$\ket{n}$��a�򼡡��ˤ����Ƥ����Ȥ���r�����������Ȥ���
  \begin{equation}
a^{r}\ket{n} = \sqrt{n(n-1)(n-2)...(n-r+1)}\ket{n-r}
  \end{equation}
�Ǥ��뤫�顢$n \geq 0$�ξ�郎����뤿��ˤ�$n$����Ǥʤ������Ǥʤ��ƤϤʤ�ʤ���
$n$����Ǥʤ������ΤȤ��ϡ�$\ket{n}$��$a$�򼡡��ˤ����������륱�åȤ���κǸ��
  \begin{equation}
a\ket{0} = 0
  \end{equation}
�Ȥʤꡢ$n \geq 0$��ȿ����褦��N�θ�ͭ���åȤϺ��Ф���ʤ���

�ʾ�Τ��Ȥ�ꡢĴ�¿�ư�ҤΥ��ͥ륮����ͭ���֤ϡ�������֤�$n=0, \ket{0}$�Ǥ��ꡢ����˼����������黻�Ҥ򤫤��Ƥ������Ȥˤ�ꡢ$\ket{n}$��
  \begin{equation}
\ket{n} = (\frac{(a^{\dagger})^{n}}{\sqrt{n!}})\ket{0}
  \end{equation}
�ȹ������뤳�Ȥ��Ǥ��롣

�Ǹ�ˡ����ͥ륮����ͭ���֤ΰ��ֶ��֤Ǥ���ư�ؿ������Ū�˵��롣

������֤ˤĤ��Ƥ�
  \begin{equation}
\bra{x'}a\ket{0} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\bra{x'}x+\frac{ip}{m\omega}\ket{0} = 0
  \end{equation}
�Ǥ��뤫�顢
  \begin{equation}
\bra{x'}p\ket{\alpha} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x'}\bracket{x'}{\alpha}
  \end{equation}
�����դ���ȡ���ʬ������
  \begin{equation}
(x'+x_{0}^{2}\frac{d}{dx'})\bracket{x'}{0} = 0, \quad x_{0} \equiv \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}
  \end{equation}
��������Τǡ������򤤤Ƶ��ʲ������
  \begin{equation}
\bracket{x'}{0} = (\frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt{x_{0}}})\exp (-\frac{1}{2}(\frac{x'}{x_{0}})^{2})
  \end{equation}
�Ȥʤ롣

�嵯���֤ˤĤ��Ƥ������黻�Ҥˤ�꼡������ʬ��¹Ԥ��뤳�Ȥˤ�ꡢ
  \begin{equation}
\bracket{x'}{n} = \bra{x'}(\frac{(a^{\dagger})^{n}}{\sqrt{n!}})\ket{0}
= 
(\frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt{2^{n}n!}})(\frac{1}{x_{0}^{n+1/2}})(x'-x_{0}^{2}\frac{d}{dx'})^{n}\exp (-\frac{1}{2}(\frac{x'}{x_{0}})^{2})
  \end{equation}
�������롣
  \paragraph{��ư�Ҥλ���ŪȯŸ}
  \subsection{����졼�ǥ��󥬡�����ư������}
  \paragraph{���֤˰�¸������ư������}
�ϥߥ�ȥ˥���$H$�򼡼��Τ褦�ˤȤ롣
  \begin{equation}
H = \frac{{\bf p}^{2}}{2m} + V({\bf x})
  \end{equation}
���ΤȤ��ݥƥ󥷥��$V({\bf x})$�ϥ���ߡ��ȱ黻�ҤǤ��Ķɽ�Ū
  \begin{equation}
\bra{{\bf x"}}V({\bf x})\ket{{\bf x'}} = V({\bf x'})\delta^{3}({\bf x'}-{\bf x"}), \quad V({\bf x'})\mbox{��}{\bf x'}\mbox{�μ´ؿ�}
  \end{equation}
�ˤȤ롣

�����ǡ�����졼�ǥ��󥬡�ɽ���ǰ��ָ�ͭ�֥�ϻ��֤˰�¸���ʤ����Ȥ�ꡢ
���֥��åȤ��Ф��륷��졼�ǥ��󥬡���������x-����Ǥ���路����Τϼ��Τ褦�ˤ����롣
  \begin{equation}
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\bracket{{\bf x'}}{\alpha, t_{0};t} = \bra{{\bf x'}}H\ket{\alpha, t_{0};t}
  \end{equation}
���μ��α��դ�
  \begin{equation}
-(\frac{\hbar^{2}}{2m})\nabla '^{2}\bracket{{\bf x'}}{\alpha, t_{0};t}
+ V({\bf x'})\bracket{{\bf x'}}{\alpha, t_{0};t}
  \end{equation}
�Ǥ��롣�����ꡢ��ư�ؿ�$\bracket{{\bf x'}}{\alpha, t_{0};t}$��$\psi({\bf x'}, t)$�Ƚ񤱤С�����졼�ǥ��󥬡��λ��֤˰�¸������ư������
  \begin{equation}
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi({\bf x'}, t)
=
-(\frac{\hbar^{2}}{2m})\nabla '^{2}\psi({\bf x'}, t)
+ V({\bf x'})\psi({\bf x'}, t)
  \end{equation}
�������롣
  \paragraph{���֤˰�¸���ʤ���ư������}
���ͥ륮����ͭ���֤ˤĤ��ƤΥ���졼�ǥ��󥬡���������Ƥ���롣

$H$�ȸ򴹤��륪�֥����Х֥�$A$�λ���t�ˤ������ͭ���֤λ��ְ�¸���ϡ�
  \begin{equation}
\ket{a', t_{0};t} = \exp(-\frac{iE_{a'}t}{\hbar})\ket{a'}
  \end{equation}
�Ǥ��롣�������֤˰�¸���륷��졼�ǥ��󥬡������������������
  \begin{equation}
-(\frac{\hbar^{2}}{2m})\nabla '^{2}\bracket{{\bf x'}}{a'}
+ V({\bf x'})\bracket{{\bf x'}}{a'} = E_{a'}\bracket{{\bf x'}}{a'}
  \end{equation}
�Ȥʤ롣

�����Ǥ�$A$��${\bf x}$��${\bf p}$�δؿ��Ȥ���$H$�Ȱ��פ���褦�����֤��Ȥ��Ǥ��뤫�顢$A$�����Ū�˼���ɬ�פϤʤ���
�����ꡢ����줿�����饨�ͥ륮����ͭ�ؿ�$u_{E}({\bf x'})$������������ʬ�������Ǥ��롢���֤˰�¸���ʤ�����졼�ǥ��󥬡�����ư������
  \begin{equation}
-(\frac{\hbar^{2}}{2m})\nabla '^{2}u_{E}({\bf x'})
+ V({\bf x'})u_{E}({\bf x'}) = E_{a'}u_{E}({\bf x'})
  \end{equation}
�������롣
  \paragraph{��ư�ؿ��β��}
  \paragraph{��ŵŪ�˸�}
  \paragraph{Ⱦ��ŵŪ(WKB)���}
\end{document}