平均連荘回数Nの求め方

平均連荘数をNとした時

N=(1/2×1)+(1/2 2 ×2)+(1/2 3 ×3）+・・・（1/2 n ×n）

となります。ここで確変率1/2をｒに置き換えると

N=lim(n→∞)(r+2r 2 +3r 3 +・・・nr n ）

となります。ここでｎまでの和をMに置き換えると

N=lim（n→∞）M

となり、簡単になりました。さらに数学的にMにｒをかけます。

M×r=r 2 +2r 3 +・・・nr n+1

となります。まとめると

  M = r+2r 2 +3r 3 +・・・nr n
M × r = r 2 +2r 3 +・・・(n-1)r n +nr n+1

です。上から下を引いてやると

M - M × r = (1 - r)M = (r+r 2 +r 3 +・・・r n )-nr n+1

となります。さらに右辺の括弧内をSに置き換えます。

S = r+r 2 +r 3 +・・・r n

です。これも同様にSにｒをかけます。

S × r = r 2 +r 3 +・・・r n +r n+1

となります。Sについてまとめると
　　　S = r+r 2 +r 3 +・・・r n
S × r = r 2 +r 3 +・・・r n +r n+1

となり、先ほどと同様に上から下を引いてやると

S - S × r = (1-r)S = r-r n+1 = r(1-r n )
∴ S = r(1-r n ) ÷ (1-r)

となり、Sの値が求まりましたので、これを「M-M×r」に戻すと

M-M ×r = (1-r)M = r(1-r n ) ÷ (1-r)-nr n+1

両辺を（1-r）で割りMでまとめると

M = r(1-r n )÷(1-r) 2 -nr n+1 ÷(1-r)

となります。0＜ｒ＜1 なら ｎ→∞ の時、
ｒ ｎ →0、 nr n+1 →0　ですから

N = lim(n→∞)M = r ÷ (1-r) 2

となります。ここで r に確変率 1/2 を戻すと

N = (1/2) ÷ (1-1/2) 2 =2

となり、平均連荘数がやっとでました。
さらに、時短を考慮します。
「必殺仕事人激闘編ＭＲ」はハーフスペックなので時短が付くのは確
変終了後になります。したがってその確率は1/2となります。
時短100回中にあたる確率は、1から100回はずれる確率を引いて

1-（312.7/313.7） 100 ≒0.2733

になります。これに時短になる確立1/2をかけると

0.2733 × 1/2 = 0.1366

が、時短で大当りを引ける確率です。
ｎ回の時短で期待できる大当り回数をLnとして、
時短で大当りを引ける確率 0.1366 を ｒ とすると

Ln = （r+r 2 +・・・r n )×N

となります。さらにｒについてまとめると

Ln = (r(1-r n )÷(1-r))×N

ここで、ｒは確率の積なので、 0＜ｒ＜1となるので

ｎ→∞のとき、ｒ ｎ →0
∴L = lim(n→∞)Ln = (r÷(1-r))×N

さらに、平均連荘数 N　を足すと

L + N = (1+r÷(1-r))×N = N÷(1-r)

となり、N=2、ｒ=0.1366を戻すと

L + N ＝ 2/(1-0.1366)
　　　 ≒ 2.3164

となります。これで、平均連荘数が求まりました。